I)'' (I, -.). BROCH. — CONVERGENCE DE LA SÉRIE DU BINOME DE NEWTON 145 



W O.-J. BROCÏÏ 



Professeur à l'IJiiiversilé de Christiaiiiii. 



NOTE SUR LA CONVERGENCE DE LA SERIE DU BINOME DE NEWTON 

 POUR LE CAS DE X — I. 



— Séance du ^8 août -1878. — 



On voit immédiatement que, pour x = 1, la série du binôme de 

 Newton 



m (m — 1) , m (m — 1) (m — 2j 



1 + m + — rnr~ + 1.2.3 -t- • • • > 



est divergente dans le cas de m < — 1; dans le cas de m = — I, la 

 série oscille entre les valeurs et 1. Enfin, dans le cas de m > — 1, 

 on se borne le plus souvent à faire observer que la série a ses teimes 

 alternativement positifs et négatifs, et que ces termes vont en diminuant 

 (Voir Bertrand, Traité de Calcul différentiel, p. 293). Abel traite d'abord 

 le cas de m positif;, et démontre que les lermes, alternant de signe, ont 

 pour limite ; mais pour m compris entre — 1 et 0, il se borne à dire 

 qu'on peut démontrer, comme dans le cas précédent, que les termes 

 tendent vers zéro; mais alors la démonstration doit être modifiée. 



Voici la démonstration de convergence que je donne pour ce cas, dans 

 mes cours à l'Université de Christiania : 



Soit m = — £, £ étant une fraction positive plus petite que l'unité. 

 La série a la forme 



^ - ' + 1 . 2 1.2.3 " -^ • ■ • ' 



si l'on désigne par u^, u^, u^, . . . Un , . • -les termes consécutifs de 

 cette série, on aura : 



_ £ (S -f 1) (S +2) . . . U + n - 1) 

 ^'" ~ 1 . 2 . 3 . . . n 



et, par suite 



Un + I __ e -}- n 

 Un \ -\- n ' 



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