A. MANNHEIM. — CONSTRUCTION d'uNE NORMALE 4S3 



Do là un moyen de construire la normale à la surface trajectoire 

 décrite par un point de la figure, lorsqu'on connaît quatre normales à 

 des surfaces trajectoires. On construit les droites D, A qui rencontrent 

 ces quatre normales : la normale demandée est la droite issue du point 

 doimé et qui s'appuie sur D et A. 



Mais si ces droites J) et ^ sont imaginaires, comment doit-on opérer? 

 Pour répondre à cette question, nous allons donner une construction 

 qui ne s'appuie pas sur l'existence des droites D, A. 



Appelons a, b, c, e les points qui décrivent les surfaces trajectoires 

 données [a], [h], [c], [e] et A, B, G, E, les normales à ces surfaces 

 qui, h un instant, sont issues de ces points. 



Soit m le point de la figure pour lequel on veut construire la nor- 

 male à la surface trajectoire qu'il décrit. Menons la droite a m. et dési- 

 gnons par g le point où elle rencontre l'hyperboloïde déQni par les 

 droites A, B, C. Il est facile de construire g. Four cela, on considère 

 la droite, suivant laquelle cet hyperboloïde est coupé, par le plan des 

 droites A et am : le point où cette droite rencontre a m est le point g. 

 Par ce point passe une génératrice de l'hyperboloïde (A, B, C) du 

 même système que les droites A, B, C. Nous désignerons cette droite 

 par G. 



De la même manière, en considérant les trois normales A, B, E, 

 nous construirons une droite H. 



Les trois droites A, G, H déterminent un hyperboloïde et la généra- 

 trice de cette surface du même système que ces droites qui passe par 

 le point m est la normale demandée. 



Car les droites D et A étant des génératrices des hyperboloïdes (A, 

 B, C) et (A, B, E), sont rencontrées par G et H et par suite sont des 

 génératrices de l'hyperboloïde (A, G, H) : la génératrice de ce dernier 

 hyperboloïde issue de m rencontre alors D et A et est la droite 

 demandée . 



Tout ceci étant indépendant de l'existence des droites D, A, répond 

 à la question posée. 



Prenons le cas particulier où le point m est à l'infini dans la direc- 

 tion d'une perpendiculaire à un plan donné (P). 



Tout ce qui précède est applicable. On détermine encore des droites 

 G, H en considérant la perpendiculaire abaissée de a sur (P) . L'hyper- 

 boloïde (A, G, H), qui contient déjà cette perpendiculaire à (P), en 

 contient encore une autre. Cette dernière perpendiculaire à (P) est la 

 normale demandée. 



Pour déterminer son pied p sur (P), on construit deux droites qui 

 rencontrent .\, G, H el l'on prend le point de rencontre;; des projections 

 de ces droites sur (P). 



