164 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



M. Edouard LUCAS 



Professeur de mathématiques spéciales au Lycée Charlemagne. 



SUR LES FORMULES DE CAUCHY ET DE LEJEUIME-DIRICHLET. 



— Séance du S9 août 1878. — 



On sait que l'on a, pour p premier, 



^^-^ _ Y^ - f-=-^ 

 z — i \ p 



Y et Z désignant des polynômes en s, à coefficients entiers, dont le 



dernier Z est divisible par z, et l j le symbole employé par Le- 



GENDRE, et généralisé par Jacobi, dans la théorie des résidus quadratiques. 

 Ce théorème, donné par Gauss, a été généralisé par LEJEUNE-DmicuLET, 

 qui l'a étendu aux exposants composés de facteurs premiers différents. 

 Désignons par n un nombre premier, ou un nombre quelconque ne 

 contenant aucun facteur quadratique, et par Xn le produit des facteurs 

 binômes qui correspondent aux racines primitives de l'équation c" — 1 = ; 



posons Xn = z'V- + a.z'V--^ -[- a,z'\^-^ + + a,^,, 



Y = boz\^+ 6,2t^-i -{-b^zv--^ 4- + &ix, 



Z = CoZ\>- -{- CiZl^-1 + c^zv--^ + . . . . + (>; 



nous aurons 4X„ = Y'^ — ( — - — \nZ\ 



Pour déterminer les coefficients bk et Ck , on calcule d'abord les sommes 

 Sk des puissances semblables des racines de l'équation X„ = 0, par les 

 formules de Newton; on obtient ensuite les coefficients cherchés par les 

 deux relations de récurrence simultanée : 



2/c6fc = — hk 6o + S/c_, &i + S/c_2 6^ + • • • Si bk-i ] 



+ --- + (4-)«-'} 



^kck = — \Sk Co -f S/c_i q + S/c_2 C2 + ... + Si CA-iJ 



+(4-) -4 



avec les conditions initiales 



6o =2, Co = 0. 



Nous donnons, dans le tableau suivant, les valeurs des coefficients des 



