166 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Le procédé de calcul que nous venons d'indiquer est celui qui paraît 

 le plus direct, pour obtenir les coefficients des fonctions Y et Z, dans 

 le cas où l'exposant n désigne un nombre premier impair. On peut 

 aussi se servir de ce procédé dans les autres cas; cependant nous 

 exposerons une autre méthode de calcul qui permet d'arriver plus rapi- 

 dement au résultat, dans le cas des exposants composés de tacteurs 

 premiers différents, et aussi dans le cas plus général où l'exposant est 

 le quadruple ou Voctuple d'un nombre composé de facteurs premiers 

 impairs et différents; on observera, d'ailleurs, que pour l'exposant 

 double d'impair, il suffit de changer le signe de z dans les formules du 

 tableau précédent. 



Cette dernière généralisation a été énoncée par Cauchy (*), sous la 

 forme suivante : « Supposons que, dans l'équation binôme 



-sn _ 1 — 0, 



les facteurs premiers impairs de l'exposant n soient inégaux, le facteur 

 pair, s'il existe, étant 4 ou 8. Lorsqu'on aura débarrassé l'équation 

 de ses racines non primitives, le quadruple du premier membre pourra 

 être représenté sous la forme quadratique 



Y^ ± n 1\ 

 Y, Z, désignant des fonctions entières de la variable z dans lesquelles 

 les diverses puissances de cette variable auront pour coefficients des 

 nombres entiers. » 



Nous allons d'abord faire voir comment on peut déduire des formes 

 quadratiques qui proviennent des valeurs impaires de n, considérées 

 plus haut, celles qui correspondent aux valeurs paires 4n et Sn de 

 l'exposant. 



Problème L — Déduire de la forme quadratique pour l'exposant 

 impair n, la forme qui correspond à V exposant Au. 



Soit d'abord, pour n impair, premier ou composé de facteurs pre- 

 miers dillérents, la formule 



4X„ =: Y' - (-^^) ^^^'Z% 



dans laquelle nous avons mis en évidence le facteur z du second 

 polynôme ; désignons par 



X'„,A4-Bv^, X--\-K\/z, _ 



les valeurs des polynômes X» ,Yet Z, lorsque l'on y change z en -\-\ z, 

 et par 



X"n , A — B ^T , A' — B' \l Z, __ 



les valeurs des mêmes polynômes, lorsque l'on y change ;; en — \ z ; 

 nous aurons 



(*) Comptes reii'lKs de l'Académie des sciences de Paris, p. 180, année 1840. 



