É. LUCAS. — FORMULES DE CAUCHV ET DE LEJEUNE-DIRICHLET 167 



4 X'„ = [a + B v/"^] - (-=j^) ^ [a' + B' v^ ^J. 



4 x'v, = Fa - B v^J- (-^) - [a' - B' \/lJ; 



mais le produit des facteurs quadratiques isomorphes donne la formule 



d'autre part, on a évidemment 



par suite 



d6Xn = [A^ -B*:s +(=liy^(A'^-B''^;:.)J-4(^-=^)^*:ï[AA' - BB'^J. 



Si l'on remplace z par — z\ on obtient la forme quadratique qui 

 correspond à l'énoncé de Caughy, pour l'exposant An. 



Exemple. — Soit n = 37, on a, d'après Legendre (*), pour Y un 

 polynôme du 18® degré dont les coefficients sont 

 2,1,10,-4,15,-0,17,-8,11,-4,11,-8,17,-5,15,-4,10, 1,2, 

 et pour Z un polynôme du 16'"« degré ayant pour coefficients 

 1, 0, 2, - 1, 3, - 1, 2, - 1, 2, - 1, 2, - 1, 3, - 1, 2, 0, 1 ; 



par suite, 



A = 2^« + 10:;« + 155^ + 17;3« + llz^ 4- Us* +1753-1- 155^ + 10^ + 2 



B = 2» _ 4s^ — 5s« — 83^ — 4z' — Sz' — Sz^ _ 43 + 1, 

 A'= 38 4- 2s^ + 35« + 22-^ + 2z* + '2z' + 3^^ + 2s + 1, 

 B' =1 — z6 — 555 _ 3,4 _ 53 _ ^2 _ 2 ; 



on trouve ainsi, après réductions, la formule 



r-37 A 



= Yi^ — 37sZi% 



z — 1 



dans laquelle Y, désigne un polynôme du 18« degré ayant pour coefficients 



1, 19, 79, 183, 285, 349, 397, 477, 579, 627, 579, 477, 397, . . . , 



et Zi un polynôme du 17™'' degré ayant pour coefficients 



1, 17, 21, 39, 53, 61, 71, 87, 101, 101, 87, 71, 61, 53, 39, 21, 17, 1. 



Si l'on change z en — s^ et si l'on multiplie les deux membres 

 par 4, on obtient la forme quadratique qui convient au produit des 

 racines primitives de l'équation s'** — 1=0. 



Le tableau suivant contient les coefficients des diverses puissances de 

 % dans les polynômes Yi et Z^; nous n'avons mis que la moitié de ces 

 coefficients. Le polynôme Y^ est de degré {)., et contient t^ + 1 coeffi- 

 cients égaux deux à deux et de mêmes signes, lorsque [>. est pair; 

 égaux, et de signes contraires, lorsque [x est impair. Le polynôme Z^ 

 est de degré p. — 1, et contient [x coefficients égaux deux à deux et de 

 signes contraires, lorsque n est impair et de la forme Aq + 3, et que (a 



(*1 Mémoires de l'Acadénnc des sciences île Paris, t. XI. 



