É. LUCAS. — FORMULES DE CAUCHY ET DE LEJEUNE-DIRICHLET 169 



Si l'on remplace, dans la formule précédente, z par ± -^, on ob- 

 tient de nouvelles formes quadratiques pour le produit des diviseurs 

 propres de Unr ou de V„r ; ainsi pour n= 11, et pour n = 21, 



Dr 



Ur U2ir ^j-y^^^^QQ, V4,-+l3Q2'-Vo.+7Q3'-]^-2lQ'- [Vsr+SQ'- Var+SQ^'-Vr p. 



U3rU7r 



En général, les produits des diviseurs propres de Ur et de Nnr sont 

 respectivement des formes quadratiques 



Y3 — nQ'- Z2 , et Y2 -f nAQ»* Z2 , 



lorsque n désigne un nombre entier, ne contenant aucun facteur carré, 

 et de la forme 4^ + 1 ; et des formes quadratiques 



Y2 -f nAQ»- Z2 , et Y^ — îia»" Z'^ , 



lorsque n désigne un nombre entier, ne contenant aucun facteur carré, 

 et de la forme 4g + 3. Nous ferons observer que ces formes sont, en 

 général, distinctes de celles que nous avons données autrefois (*). 



Problème II. Déduire de la forme quadratique pour l'exposant 4n, 

 quadruple d'impair, la forme qui correspond à l'exposant 8n. 



Désignons par 



X'„ , A + B V"3i; , A' H- B' \/"^, 



les valeurs des polynômes X^ , Y^ et Zj, lorsque l'on change z en 

 z \—- 1, et par 



X"„, A-B \/ - 1, A' - B' v/_l, 



les valeurs des mêmes polynômes, lorsque l'on y remplace ;5 par — 5 V — I , 

 nous aurons 



X'„= [A + B V'^=n'p - (-^^)^- sl^^^i'l^' + B' V'^^P. 



X"n = [A - B V ^=^Y - (~7r")''^ ^'' """^ I^'^' ^"~^ + ^ ^'• 



On remarquera la modification introduite dans la seconde partie de 

 X"n , atin d'obtenir les mêmes formes quadratiques. 

 En appliquant la formule 



[ti2 _ a.v^][u^ — ay'2] = [im — avv'f — a [uv — vu']^ , 



[*) Voir mon mémoire sui' lu Théorie des [oncUoiu numériques siinpiemeiU périodiques. (N»' 2, 3, 

 4 de The American Journal de Sylvesler. — Baltimore, 1878.) 



