170 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



et en observant que uv — vu contient le facteur 1 — V — 1 dont 

 le carré est — 2 \] — 1, on trouve par multiplication, 



W^ + B^ +(^\^ (A*^ + B»^)T +{^^^nz [a (A' + B') - B (A' — B')]' 



Si l'on change, dans cette relation z en — js2 , et si l'on multiplie 

 les deux membres par 4, on obtient la forme quadratique qui corres- 

 pond, dans l'énoncé de Cauchy, à l'exposant 8n, octuple d'impair. 



Exemple. — Soit 



{z — 4)(si5 _ 1) _ 



(2' — i){z^ — 1) 

 r^i _ 8:;^ + 132'' — 8^ + iT + ISs [z^ _ 82* -f 3^ - l] 



B = Sz" — 8js, 

 B' = — z» + 3j5, 



on en déduit 



A = s* — i^z-" 4- 1, 

 A'= 32*— 1, 



et d'après la formule précédente 



(2' + 1) (z^» + 1) _ 



(2" + 1) (2*° + 1) ~ 



r^s _f- 15-7 _|_ 38^6 _^ 45^5 _^ 43^4 + 45-3 ^ 38^2 _^ 15^ _j_ ij 

 — 302 ['2'' + Sz" + 82^ -f 82* + 82^ + 82^ + 52 4- il . 



tableau des coefficients de la FORMULE 



^— 1^ 



X,„ = Y,^ + {—pj %izZ,\ 



[1 + 3], 



[1 + S + '], 



[1 + 7 + 3 - 7]. 



[1 4- 15 + 38 + 45 + 43], 

 [1 4-11+27 + 33 + 21 +11], 

 [1 + 13 + 19 — 13 _ 11 + 13 + 7], 

 [1+4 + 1-4 + 1+2], 

 [1 + 21 + 74 + 105 + 55 — 42 — 91], 

 I [1 _ 13 _ 45 _|_ 68 + 83 — 120], 



