172 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



En remplaçant, dans la formule (3), Z par -r;—, on a, par exemple, 

 pour l'exposant 10, dans les fonctions simplement périodiques, 



et en changeant js en — z, 



^^ = [V^r - m^ V^r + IQ'^V + lOAQr [Uar - SQ»- U,- ]^ 



V2r 



En général, le produit des diviseurs propres de V2/ir appartient aux 

 deux formes quadratiques 



Y2 — ânQ»- Z2 et Y^ + SnAQ»" Z^. 



Nous montrerons encore, avant de terminer, comment on peut déduire 

 de la forme quadratique qui convient à un exposant n, impair, ou 

 double, quadruple ou octuple d'impair, celle qui correspond à l'expo- 

 sant nn, en désignant par n un nombre premier avec n. Nous pren- 

 drons pour exemple n' = 3. 



Problème III. — Déduir-e de la forme quadratique pour l'exposant n, 

 celle qui correspond à l'exposant 3n. 

 Prenons pour point de départ 



X„ = Y,' — f.^zJj\nzZ^'; 



désignons par r l'une des racines cubiques imaginaires de l'unité ; par 



X'n , Ar^ 4- Br + C, A'r^ + B'r + G', 



les résultats obtenus en changeant z en rz dans les polynômes X„ , Y 

 et Z, et par X"n le résultat obtenu en changeant z en r^z dans Xn ; 

 nous aurons 



1 



X'„ = [Ar^ -f Br + C]^ — (— \ nz[X'r + B' -f-C'r^]%" 



X" = [Ar + Br' -\- CJ^ — (-^^) «- [A'r^ + B' + Crf-, 



on remarquera la modification introduite dans les derniers termes de 

 X'n et de X"„ , pour obtenir les mêmes formes quadratiques. D'autre 

 part, en appliquant la formule 



[m* — ai;*] [u"^ — ay'*] = \iiu — ctvv'l* — "^ [^^ — vu Y y 

 et en observant que uv' — vu' contient le facteur r — ?•* =Y — 3, 

 on obtient aisément 



X3n= G^ — (-^^) 'ànzïl\ 



