174 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



leurs assujettis à la seule condition d'être à la fois perpendiculaires 

 entre eux et à l'axe des z : on trouve facilement que ces surfaces ont en 

 commun l'équation aux dérivées partielles 



h 

 (1) qx—py = -^ 



p et g désignant; suivant l'usage, les dérivées partielles de s par rapport 

 à ce et à ^. 



A l'aide de cette équation, on constate immédiatement que les surfaces 

 hélicoïdales qui passent par un môme point, y sont toutes tangentes à 

 une même droite, ou, en d'autres termes, que les plans tangents corres- 

 pondants passent par une même droite : on a par suite 6=1. On voit 

 de même facilement que les points de contact des mêmes surfaces avec 

 un plan quelconque sont situés sur une droite, et on en conclut cp =: 1. 

 De là ce premier résultat : les surfaces hélicoïdales de même axe et de 

 même pas constituent, dans leur ensemble, un implexe (1, 1), 



4. — De cette propriété fondamentale découle un grand nombre de 

 conséquences. Nous allons énoncer les plus simples : 



I. — Le lieu des points de contact des plans tangents menés par une 

 même droite D à toutes les surfaces hélicoïdales de même axe et de même 

 pas est un hyperboloïde à une nappe qui contient la droite D. 



II. — L enveloppe des plans tangents aux mêmes surfaces, en leurs 

 points d'intersection avec une droite D, est un hyperboloïde à une nappe 

 passant par la droite D. 



III. — Le lieu des pieds des normales à ces surfaces issues d'un même 

 point 0, est une surface du 3'^ ordre anallagmatique, ayant en un point 

 conique. Cette surface contient l'ombilicale , c'est-à-dire le conique 

 imaginaire du plan de l'infini, commune à toutes les sphères. 



IV. — Le lieu des pieds des normales s" appuyant sur deux droites 

 fixes D et D', est une surface du 4" ordre qui passe par l'ombilicale et 

 par les droites D e^ D'. 



o. — Chacun des théorèmes que nous venons d'énoncer donne lieu à 

 un théorème concernant une seule surface hélicoïdale. 



Si Von considère une surface hélicoïdale quelconque : 



1** Les points de contact de cette surface avec des plans passant par 

 une droite donnée D, sont situés sur un hyperboloïde à une nappe conte- 

 nant D. 



2" Les plans tangents à cette surface aux points où, elle coupe une 

 droite D, enveloppent un hyperboloïde à une nappe passant par D. 



3" Les pieds des normales issues d'un même point G sont sur une 

 surface du 3^ ordre contenant l'ombilicale et admettant le point 

 comme point conique. 



