G. FOURET. — SUR LES SURFACES DE VIS 175 



4" Les -pieds des normales s'appuyant sur deux droites \) et D sord 

 sur une surface de â" ordre passant par rombiLicale et par les deux 

 droites D et D'. 



g. — Surfaces de vis a filet carré de même axe et de même pas. 



Les surfaces hélicoïdales ayant un axe donné et un pas donné com- 

 prennent en particulier une infinité de surfaces de vis à filet carré. Ces 

 dernières surfaces jouissent des propriétés que nous venons de signaler, 

 comme les autres surfaces hélicoïdales : elles en possèdent quelques 

 autres qui leur sont spéciales et dont nous allons donner un aperçu. 



Les surfaces de vis à lilet carré admettent une première équation 

 aux dérivées partielles : l'équation (1), qui est celle de toutes les sur- 

 faces hélicoïdales décrites autour de l'axe des z, avec un même pas /li- 

 mais elles en admettent une seconde, qui est l'équation bien comme des 

 conoïdes ayant pour directrice rectiligue l'axe des z, et pour plan direc- 

 teur le plan du xy, c'est-à-dire 



(2) px -\- qy — 0. 



Or, nous avons établi dans un travail antérieur (*) qu'un ensemble 

 de surfaces satisfaisant à la fois à deux équations aux dérivées partielles 

 du premier ordre, forme un système de surfaces dont un nombre 

 déterminé [x passent par un point donné quelconque, un nombre déter- 

 miné V touchent une droite quelconque, un nombre déterminé p sont 

 tangentes à un plan quelconque. De plus, ces trois nombres, ou caracté- 

 ristiques du système, s'expriment de la manière suivante, en fonction 

 des caractéristiques ô, cp, 0', <p' des deux implexes définis respectivemen 

 par les deux équations aux dérivées partielles. On a : 



(3) p = 66', V = Gcp' + G'cp, p = cp;f' 



7. — En remarquant que l'implexe formé de surfaces conoïdes et 

 défini par l'équation (2) a, comme le premier, pour caractéristiques 

 6' = 1, cp' = 1, on conclut des formules (3) que les caractérisques du 

 système de surfaces de vis à filet carré de même axe et de même pas /i, 

 sont [j, = 1, V = 2, p = 1. On a donc ce résultat : 



Les surfaces de vis à filet carré, de même axe et de même pas, forment y 

 dans leur ensemble, un système (7, 2, 4). 



8. — De cette propriété importante on peut déduire un grand nom- 

 bre de conséquences intéressantes: nous n'énoncerons que les plus 

 simples, celles qui se démontrent immédiatement. 



L Le lieu des points de contact des tangentes menées d'un même point 1 

 à toutes les surfaces de vis à filet carré de même axe et de même pas , 



(*) Comptes-rendus, t. LXXX, p. 167. 



