176 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



est une surface du 3^ ordre 'passant par le point 0, et contenant l'axe 

 commun des surfaces de vis. 



II. — L'enveloppe des plans tangents aux mêmes surfaces, en leurs 

 points d'intersection avec un même plan P, est une surface de 3^ classe 

 tangente au plan P. 



III. — Le lieu des points de contact des plans tangents aux mêmes 

 surfaces, menés par une droite D, est une cubique gauche qui ren- 

 contre en deux points la droite D d'une part, et l'axe commun des sur- 

 faces de vis, de l'autre. 



9. — Chacun des théorèmes précédents donne immédiatement un 

 théorème concernant une seule surface de vis. Le théorème I, par 

 exemple, donne le suivant: 



Le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point I à une 

 surface de vis à filet carré est l'intersection de cette surface avec une 

 surface du 3^ ordre passant par le point I et par l'axe de la surface. 



Cette courbe présente un certahi intérêt : elle est , en etlét , la courbe 

 d'ombre propre de la surface de vis supposée éclairée par des rayons 

 lumineux émanant du point I. 



Nous allons chercher l'équation de la surface du 3« ordre qui la con- 

 tient. 



10. — Si nous conservons les axes de coordonnées que nous avons 

 définis plus haut (art. 3), en désignant para, p, y, les coordonnées du 

 point I, il est clair que Ton aura l'équation de la surface dont il s'agit, 

 en éliminant p et q entre les équations (l), (^) et l'équation. 



^ — z = p{ct — x)-\-q{^ — y) 

 exprimant que le plan tangent au point (x, y, z) à la surface de vis qui 

 y passe, contient le point I. 

 L'élimination se fait immédiatement et fournit l'équation 



(4) y(x* + 2/^) (:; -Y) + P.œ— aî/=o. 



Celte équation se simplifie un peu , si l'on suppose que l'axe des x 

 ait été choisi de manière à contenir le point I, ce qui est toujours per- 

 mis. On a alors |5=:o, y = o, et l'équation (4) se réduit à 



(5) y(a^^ + 2/^)s-a2/=o. 



11. — On vérifie sur cette équation qui est du 3<= degré les résultats 

 énoncés plus haut. On voit de plus que la surface qu'elle définit con- 

 tient l'axe des x, c'est-à-dire la perpendiculaire abaissée du point I sur 

 l'axe de la surface de vis. Par suite, elle est tangente à l'origine au 

 plan des xz. Nous ne voulons pas nous étendre davantage ici sur les 



