178 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



cité : elle se prête avec la plus grande facilité à la construction et à 

 l'étude de la projection de la courbe d'ombre, et à ce titre elle mérite- 

 rait peut-être de trouver place dans les traités de géométrie descrip- 

 tive. 



13. — L'équation (8) devient encore plus simple, lorsque w = : 

 elle se réduit alors à 



(10) r=^^^ 







Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, d'après la relation (9), 

 que l'on ait A; = 0. Cette condition exige que l'axe des x soit une gé- 

 nératrice de la surface de vis, en d'autres termes que le point lumi- 

 neux I soit situé sur la surface. 



La courbe (10) est très-intéressante à étudier ; mais cette étude nous 

 entraînerait trop loin (*), 



14. — On obtient sans difficulté la projection de la courbe d'ombre 

 sur les plans des xz et des yz. Les équations de ces projections sont 

 respectivement 



^^ sinj iz-k) 



^ ~ 271 Z 



ah ^'" T ^^ - ^) 



y = ^ — z — 



Elles permettraient de construire très-aisément ces deux courbes. 



15. — Surfaces de vis a filet triangulaire. — Si l'on considère 

 l'ensemble des surfaces de vis à filet triangulaire de même pas h, en- 

 gendrées autour du même axe oz par des droites également inclinées 

 d'un angle a sur cet axe, on reconnaît facilement qu'elles font partie de 

 deux implexes : 1** l'implexe (1, 1) composé des surfaces hélicoïdales de 

 pas h autour du même axe oz ; 2° l'implexe (2, 2) composé des sur- 

 faces gauches engendrées par une droite s'appuyant sur oz et inclinée 

 d'un angle constant a sur cet axe. Par suite les surfaces de vis à filet 

 triangulaire définies plus haut forment dans leur ensemble un système 

 dont les caractéristiques sont : 



[X = 60' = 2, v = Ô:p' -|- ô'cp= 4, p = cpcp':=2. 



16. — On conclut de là plusieurs théorèmes intéressants, parmi les- 

 quels nous citerons le suivant; 



Le lieu des points de contact des plans tangents menés par un point 



(*) Depuis que cette note a été communiquée au Congrès, nous avons trouvé un moyen des 

 plus simples de construire la tangente à la courbe en question, en un point quelconque M. On 

 l'obtient en ellet en joignant le point M au point symétrique par rapport à DM de la projection 

 horizontale du point lumineux. 



