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GÉOMÉTRIE. — Sur les cercles géodésiques. Note de M. G. Darbocx. 



« Considérons sur une surface les courbes fermées qui limitent une aire 

 de grandeur donnée. On sait que celle d'enire elles qui a li plus petite 

 longueur doit avoir sa courbure géodésique constante en chaque point. 

 Je donnerai, avec le plus grand nombre des géomètres, le nom de cercles 

 (jéodésicjues aux courbes, fermées ou non, jouissant de la propriété d'avoir 

 leur courbure géodésique constante. Elles satisfont, comme on sait, à une 

 équation différentielle du second ordre. Je me propose d'élnblir, dans 

 cette Communication, qu'on peut appliquer à l'étude de cette équation 

 différentielle les méthodes qui ont été employées par Jacobi pour la déter- 

 mination des lignes géodésiques. 



» Considérons une surface quelconque, et supposons, pour plus de sim- 

 plicité, que l'on rapporte ses points à des coordonnées curvilignes rectan- 

 gulaires. Le carré de l'élément linéaire aura la forme suivante : 



ds^ = \-du--h C-ch'-, 



et l'aire d'une courbe tracée sur la surface sera représentée par l'intégrale 

 double 



ffACdudi>. 



» Je détermine d'une manière quelconque deux fonctions 6, a satisfai- 

 sant à l'équation 



?-^^ = AC. 



cil' ou 



L'intégrale double précédente pourra être remplacée par l'intégrale 

 simple 



— j Q dii-h a dv, 



étendue au contour de l'aire. On sait alors, d'après les principes du Calcul 

 des variations, que les cercles géodésiques sont les courbes qui annulent 

 la variation première de l'intégrale 



/v 



v/A- du- -H C- dv- — k[Odu + a dv), 

 où k désigne une constante arbitraire. 



