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A^ ALYSE MATHÉM ATIQUli . — Sur le produit indéfini i — a^ . i — X" . i — .x' . . , ; 



par M. Sylvester. 



« Dans le Joints Hopkins Circular, numéro de féviier, oo trouvera l'expli- 

 cation d'une méthode graphique pour convertir les |)roduits continus en 

 séries. J'ai appliqué cette méthode poiu- obtenir la formule connue (Cayley, 

 Eltiptic Fimclions, p. 296J 



I — a V . I — a.v- . 1 — ru:' 



.î-« .l' n- 



— I H ^ 1- 



I — ,1-. I — ax \ — .'' . I — X . \ — «r . I - 



x'a'- 



— X . I — x-, I — ,r*. I — iix. I — nx- . I — ax'' 



)) Je me suis demandé quelle serait l'expression obtenue en appliquant 

 la même construction (ou dissection) graphique (qui fournit la formule 

 citée en haut), au produit i + a.r . i + rt.t °. i -f- rt^'.. ., et j'ai trouvé 

 s.uis aucune difficulté l'expression suivante : 



1 + nx"- ., 2 I + ax . I -j- ax' 



1 4- xa ■ h X' a^ 



1 — X I — .'■ . I — .r' 



, \ -\-ax .1 + ax- .\ ... + a x' 



-\- X ^ a' — 



CI — J. . . . I 



» En faisant a = — i, on obtient 



I - X. I — x^ .1 — X^ . .. = I — x [i + x) ■-\- X^ {l + X- 



:'l--l 



+ (_)/^ ' (1 + j:^) + .... 



» c'est le théorème bien connu d'Euler, lequel, sous ce point de vue, 

 n'est qu'un corollaire d'un théorème plus général. 



» Par la même méthode, j'obtiens la série pour les ihèla fonctions et 

 d'autres séries beaucoup plus générales, sans calcul algébrique aucun. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur tin théorème de partitions; par M. Sylvester. 



« Soient j,, ■^2» • • m ^i ^^s suiles de nombres consécutifs, telles que le 

 plus petit terme dans aucune d'elles n'excède de plus de l'unité le plus grand 

 terme dans la suite qui précède; bien entendu que /peut devenir l'unité et 



