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 le calcul est, comme on sait, sinon difficile, du moins assez laborieux dans 

 chaque cas particulier. 



» Quoi qu'il en soit, l'étude de cette question m'a conduit à quelques 

 réhullats, curieux par eux-mêmes, qui, ouvrant une voie peu explorée à 

 ce qu'il uie semble, pourront intéresser les amis des nombres et provoquer 

 d'autres recherches. Je vais donc les faire connaître ici, en réservant pour 

 une Communication ultérieure l'exposé du mode d'investigation et de 

 démonstration que j'ai employé. Je me bornerai aujourd hui à dire que la 

 longueur et la forme de la période ne dépendent pas toujours de la seule 

 valeur du nombre E, mais qu'au contraire elles sont, dans bien des cas, 

 indépendantes de cetie valeur et dépendent surtout de sa forme ou, 

 conune disait Lagrange, « de sa nature ». 



» Eu fait, la période est une fonction tantôt uniforme, tantôt variable, 

 de dfux élémtnls, qui caractérisent le nombre E, non seulement par leurs 

 valeurs absolues, mais encore et surtout par leur rappoit, de telle sorte 

 qu'une même formule, ne contenant qu'une seule variable, peut déter- 

 miner immédiatement les périodes relatives à une infinité de nombres dif- 

 férents, unis en un groupe dont la fornuile appropriée résume le caractère 

 commun. 



~~)) Désignons par le nombre entier a la racine du plus grand carré con- 

 tenu dans E, et par d l'excès de E sur a-. Les nombres a et d sont les deux 

 éléments caractéristiques dont je veux parler. Il est d'ailleurs parfois utile 

 d'en considérer deux autres qui dérivent de ceux-là, savoir b ^= a -\- \ et 

 e = Z.*-E. 



M Cela posé, on sait déjà que la racine carrée de tout nombre entier de 

 la forme à^ + i se développe en une fraction continue dont la période 

 commence après le premier terme a et se compose du seul nombre art. 

 Voici maintenant les résultats que j'ai annoncés plus haut. 



» Théorème I. — Toutes les fois que d divise exactement 2a, de telle sotte 



(jug — -_s- /, la péiiode (qui commence toujours après le premier terme a) 



se compose de deux nombres seulement, savoir J et 2a. 



» En particulier, i>i E--= b' -\- 2, les deux nombres dont se compose la 

 période sont a et 2a. Etsi E = (« -^ 1)- — i, ces deux nombres sont i et 2a. 



» Théorème II. — Toutes les fois que e divise exactement 2b, de telle sorte 



que E_ = or, [a période se compose de quatre termes et a pour expression géné- 

 rale 



[i, in - 2), I, 2a]. 



