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 où /admet la seule singularité S,, et où F, (a;) n'a d'autres singularités 



que S'. 



» Il suffit, pour le démontrer, d'employer la méthode de M. Weierstrass 

 [Berliner Monalsbericlit, août 1880), dont s'est servi plus récemment M. Mit- 

 tag-Leffler Ini-niéme pour généralisrr son théorème. 



» La seule difficulté consiste à déterminer la fonction à retrancher de 

 fi{œ); on y arrive aisément en se servant du développement de cette fonc- 

 tion à l'extérieur d'un certain conrour formé d'arcs de cercle. Comme con- 

 séquence de ce qui précède, on déduit immédiatement la possibilité de dé- 

 composer en un produit de facteurs primaires toute fonction uniforme dans 

 une région quelconque du plan, ayant dans celte région un nombre quel- 

 conque de points singuliers, de coupures et d'espaces lacunaires. » 



THÉORIE DES NOMBRES. — Note sur un point de la théorie des fractions 

 continues périodiques. Note de M. E. de Jonquières, présentée par 

 M. Hermite. 



« Il serait intéressant, un nombre entier E étant donné, de savoir écrire 

 tout d'un coup, sans calculs préalables, la période des quotients incomplets 

 de la fraction continue périodique suivant laquelle se développe le radical 

 \/Ë', malheureusement les difficultés du problème ainsi posé semblent être 

 très grandes. Mais s'il n'y a guère d'espoir qu'on en trouve la solution com- 

 plète, peut-être n'est-il pas impossible de la découvrir dans des cas plus ou 

 moins étendus, offrant même un caractère de généralité. 



1) Lagrange, après avoir exposé l'importante théorie de la périodicité 

 des fractions continues dans lesquelles se développent les racines de toute 

 équation du second degré, celle de \/E en particulier, découverte qui a 

 été l'un de ses premiers titres de gloire, fait la réflexion suivante : 



« Par là on pourrait donc juger du commenceuicul des périodes dans la série des 

 nombres p. (ce sont les quotients incomplets). . . ; mais quant à la longueur des périodes, 

 cila dépend de la nature du nombre E, et même uniquement de la valeur de ce nombre, 

 comme jo pourrais le démontrer, si je ne craignais que ce détail ne me menât trop loin. » 



» Je ne sache pas que Lagrange, ni après lui aucun géomètre, ait donné 

 la démonstration du principe qu'il énonce dans les termes que je viens de 

 rappeler. Au surplus, ce qu'U en dit ne laisse pas même supposer qu'elle 

 eût permis d'en conclure a priori, pour un nombre donné, la longueur de 

 la période dont il s'agit et moins encore sa composition numérique, dont 



