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 » En raisonnant sur ?(^f) comme suvj[j.-), on met f{x) sous la 

 forme 



/(^•)=.'^/,(x), 



/,{^') ayant la seule coupure L,. La démonsiration précédente s'applique 

 également aux fonctions uniformes ayant p espaces lacunaires, ou aux 

 fonctions ayant/? points singuliers, q coupures, r espaces lacunaires. 



» D'une manière générale, si l'on comprend sous le nom de singularités 

 les points singuliers, les coupures et les espaces lacunaires, on est conduit 

 au résultat suivant : toute fonction uniforme qui a uu nombre limité n de 

 singularités est la somme de n fonctions dont chacune possède une seule 

 singularité. Dans le cas où la fonction possède un nombre infini de singu- 

 larités, on pourra les partager en deux classes : les unes sont telles que 

 l'on peut trouver un contour fermé, ne renfermant à son intérieur que cette 

 seule singularité; les autres ne jouissent pas de cette propriété. Je dési- 

 gnerai les premières par S, les secondes par S'; les S' sont ce qu'on peut 

 appeler les limites des S, suivant l'expression adoptée dans le cas des points 

 singuliers. Ceci posé, voici comment on peut généraliser le théorème de 

 M. Mitlag-Leffler. 



)) 1° Étant données une suite de singularités 



ayant pour limites d'autres singularités S' et une suite de fonctions uni- 

 formes 



/„(x), /,{x), ...,/i{x), ..., 



telles que la fonction fi{jc) admette la seule singularité S,, il existe une 

 fonction uniforme F(j:^), n'admettant pas d'autres singularités que S et S', 

 telles que la différence 



F(^)-/(^) 



soit finie et continue à l'intérieur d'un contour infiniment petit renfer- 

 mant Sj. 



» 2° La forme la plus générale d'une fonction F(x) admettant les sin- 

 gularités S et S' est 



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