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 toute l'étendue du plan qu'un nombre limité de points singuliers. Depuis 

 lors, le théorème fondamental de cette théorie a été étendu par M. Picard 

 aux fonctions uniformes possédant des lignes de points singuliers [Comides 

 rendus, i5 mai 1882). Le résultat obtenu par M. Picar<i e^t U- suivant : 

 Toute fonclion uniforme, finie et conlinite pour tout point du plan en dehors 

 de p lignes droites qui soiU des coupures ou même des liijnes de pouits sirujuUeis, 

 est éijrJe à lu somme de p fonctions uniformes dont chacune a une seule coupure. 

 Je me propose de n)ontrer comment on peut démontrer ce théorème, 

 quelle que soit la forme des cou[)ures, et d'indic.uer une extension, qui 

 me paraît nouvelle, du théorème? de M. Mittag-Leffler. 



» Considérons une fonction uniforme/(a:), finie et contenue pour tout 

 point en dehors de p coupures L,, Lo, . . ., L^ de forme quelconque, ne se 

 rencoiitiant pas. J'entoure ciiacunt- de Cfs lignes d'un contour formé 

 d'arcs de cercle ayant leurs centres sur la coupure elle-même, de telle 

 façon que tout pouit situé à l'extérieur de ces contours soit à l'extérieur 

 des dilTérents cercles auxquels appartietinent les arcs qui forment le cou- 

 tour, ces contours C,, C^, . . ., C^ ne se coupant pas entre eux. Soit E la 

 portion du plan située eu dehors de C,, Co, .. ., C^; par hypothèse, /(x) e.-.î 

 finie et continue' pour tout point de E. D'après lui théorème de M. Appell 

 {Comptes rendus, i"'' mai 1882), la fonction /(x) pourra, dans l'espace E, 

 être développée en une série telle que 





a,, a,, . . ., n„ étant les centres des cercles dont il vient d'être question. 



» Prenons en particulier la ligne L, et, dans la foruuile précédente, 

 groupons ensemble, d'une part tous les développements qui parviennent 

 du contour C,, d'autre partions ceux qui proviennent des contours C,, 

 C3, ...,Cp. La somme des premiers définit une fonction/, (a;), finie et con- 

 tinue pour tout point en dehors du contour C, ; la somme des autres dé- 

 veloppements est une certaine fonction o(x), holomorphe à l'intérieur du 

 contour C,. Comme on a 



/(x)=:9(.r)-l-/.(a:), 



d en résulte que/,(j?) ne peut admettre à l'intérieur du contour C, que la 

 coupiue L,. De mème(]5(a") sera finie et continue pour toute valeur de jc 

 en dehors de La, L^, . . ., L^. 



