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» III. Expressions invariantives, — M. Hermile a calculé les coefficients 

 invariants de U quand on prend pour variables les covariants linéaires P 

 et P'. Proposons-nous d'effectuer le même calcul en prenant pour variables 

 les deux covariants (//Oi'^i P', P'". 



» Celles des relations (ii) qui donnent p'' et p"'-, multipliées par 1- et 

 combinées avec (12), donnent tout d'abord 



( P^ = - L(M + JL)/;= -h (3KL - m)pp"'- (JK + 9L)/'% 

 ^' ' ' lV=(3KL"--M-y+(KM-9L^)/j/j"'-(M + JL)/'-. 



» La première des relations (i4) tlonne alors 



(17) P ^ := - h'p' + Mp-p'" - Kpp"" -+- p"'\ 



et la troisième des relations (8) devient, tous calculs faits, 



I r«^(9L^+ 2KL^M- W)p'-^^[V>M.--{^L-U-Y.'l/)p'p'" 

 \ +io(6KL=-3M--JLM)/>y"- 



^' ' ' +1 o ( JKL -h 2 KM - 9 \J)p^p"'' 



-25(M + JL)/y"^-(J-- 3K)/'% 



syzygie qui fournit l'expression invariantive demandée. Et comme la se- 

 conde des relations (8) donnerait de mémel''r/, puis la relation (G) r''/i, et 

 amsi de suite, on peut énoncer ce théorème : 



» Tout covaiiant [droit on gaiicht) de Injorme binaire du cinquième ordre, 

 inuUiplié par une certaine puiii,once [paire ou inipaue) de l'invariant yauchel, 

 e^l identique à un polynôme ayant pour variables homogènes les deux covariants 

 linéaires droits et pour coejficients des Jonctions entières des trois invariants 

 droits. 



» Ce théorème subsiste évidemment en prenant pour variables les deux 

 covariants Iméaires gauches P', P", toutefois avec d'autres conditions de 

 parité pour la puissance de I. 



» Les quelques exemples que je viens de traiter et qu'il m'aurait été fa- 

 cile de multiplier suffisent, je pense, pour montrer la fécondité de la mé- 

 thode et le parti qu'on peut en tirer dans un grand nombre de questions. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions uniformes. 

 INote de M. E. Golusat, prét>enlée par M. Hermite. 



« Dans son célèbre Mémoire Sur les Jonctions uniformes^ M. Weierstrass a 

 donné la torme générale d'une tonclion de cette nature, n'ayant dans 



