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rs -+- ht' —3h't:=o, u"s + hp — II' p = o, 



st" -^?>s"t— s't' = o, 2ss"-\-3p't — pt' = o, 



us" -\- h' p + iq t = o, hs" -\- sW — li' s' = o, 



up' — ih' — ?)<i's — 3/^'=o, pr -\- 2hs" — 'itu"=^o. 



» J'arrive à quelques applications des formules précédentes. 



» I. Calcul nwnérique des invariants et covariants. — Etant données les 

 valeurs numériques des coefficients «, b, c, ... de la forme générale, on 

 calculera u, h, n, u', s d'après leurs expressions bien connues; les for- 

 mules (2), (4), (6), (8) et (9) donneront alors successivement les valeurs 

 numériques des quatorze autres péninvariants et des quatre invariants, et 

 les formules (3) et (i3) celles des covariants. Cet ensemble de formules 

 remplace donc complètement, et avec grand avantage pour la rapidité des 

 calculs, les Tables calculées par divers savants ('). 



» II. Calcul des invariants et covariants composés. — 1° Soit, par exemple, 

 à exprimer le hessien W du covariant N. La dernière des formules (i3) 

 permet d'écrire immédiatement 



u-w = nj^{u^u' — 36kn) — [^{u-s — 9^°)]*, 



d'où, développant, ordonnant par rapport à «, remplaçant (/^-+4/^') et 

 nu' au moyen de (2) et divisant par u^, on a l'expression demandée 



324W = - Wi-jS^ + 9Q) + 270UHT— 72H^S. 



» 2" Soit à exprimer en fonction de J, R, L le résultant de deux cova- 

 riants droits W, W. Il est permis de supposer j- proportionnel au facteur 

 commun à W et W. Il suffit donc de poser tv -— o, îv'= o et d'éliminer 

 sept quelconques des huit péninvariants droits entre ces deux équations et 

 les six syzygies (6), (8) et (10); le huitième, en raison de l'homogénéité, 

 disparaîtra comme facteur commun, et d restera une relation _/(J, K, L) = o, 

 dont le premier membre sera le résultant demandé. 



» Si W, par exemple, est gauche, on posera tv^ = o ; on ramènera cette 

 relation à ne plus contenir que des péninvariants droits, et on rentrera 

 dans le cas précédent. 



i> S'il s'agit du discriminant de W = wx''-\- w,x^^'y -+-..., on suppo- 

 sera j proportionnel au facteur double; on posera donc w ^ o, w,^= o, et 

 on rentrera dans le c;is précédent, etc. 



(') Ces Tables n'occupent pas moins de vingt-deux pages, pour le cinquième ordre seu- 

 lement, à la fin de la Théorie des formes binaires de M. Faa de Bruno. 



