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 conclut les trois équations correspondantes (VI) 



h")- ^m- KM)- 



|G,„)^.G([:])-,c([i]).. 



» Chncune de ces quatre équations comprend un cycle de théorèmes 

 arithmétiques que l'on parcourt en commençant par la valeur |u. ^= 2 et en 

 terminant par la valeur de p. la plus petite, telle que a^^ soit plus grand que 

 n. En passant d'une valeur quelconque de p. à la valeur p. -f- r, l'ensemble 

 des nombres premiers ^^,, (/jj.. . . , _/,j. croîtra s'il change de valeur en passant 

 à l'ensemble des nombres /^ix+o 7|x+i. • -, Tix+n s'il ne reste pas invarié; en 

 conséquence, l'ensemble des nombres P|j,, Qj^, ..., croîtra de même en 

 passant à l'ensemble des nombres P(jn_,, Q^^^,, ■ ■ -, s'il change de valeur. 

 Donc la série à droite dans chacune des équations (V) et (VI), qui est 

 composée exclusivement de termes positifs, reçoit un accroissement ou reste 

 invariable chaque fois que l'on passe d'une valeur /jt, à la valeur, qui est plus 

 grande de l'unité _a-l- i, et la série à gauche reçoit une altération corres- 

 pondante. Enfin reste à gauche le seul terme premier, et l'on trouve à droite, 

 dans l.e cas du théorème (V), l'équation identique n = n; par contre, dans 

 le cas des trois théorèmes (VI), reparaissent les théorèmes 



G{n) = n +a[lj -r3[^] +■ 



D(«)=$(«)+4-J)-^K[iI 



donnés par Dirichlet, dont la réversion a conduit aux théorèmes (II). De 

 cette manière les cycles des théorèmes exposés sont fermés. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Remarques au sujet d'une Noie de M. Hugo- 

 mot, sur le développement des fondions en séries d'autres fonctions. Note 

 de M. P. duBois-Reyjioxd. (Extraitd'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« .... Je viens de lire dans les Comptes rendus (tome XCV, p. 907, 

 30 novembre 1882) une Note de M. Hugoniot, où cet auteur est conduit 



