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linéaires F d'ordre fini, il est possible de déterminer la nature du groupe G, 

 et par suite celle des intégrales de Y. 



» I. Si iTi est un nombre premier, les groupes G et F sont isomorphes 

 sans hémiédrie, et l'équation H est une équation de Galois. L'équation 

 différentielle possède un système fondamental, dont toutes les intégrales 

 sont de la forme "\ u, les ii étant -a a. v; racines d'une même équation algé- 

 brique de degré w, à coefficients rationnels, irréductible et abélienne. 

 L'entier zs est : i" un diviseur de m — i et de « si Y possède inie intégrale 

 rationnelle, 2° un diviseur de m — i et de 7z — i si Y est dépourvu d'inté- 

 grale rationnelle. 



» Le théorème ne souffre pas d'exceptions pour h 13', si n > 3, il existe 

 pour chaque valeur de n une limite A, telle que si m > A, le théorème s'ap- 

 plique de plein droit. 



« IL Si m est un nombre composé quelconque, m = ML, les groupes G 

 et F peuvent être isomorphes avec hémiédrie; plusieurs substitutions de G 

 peuvent correspondre à une substitution de F. Lorsque cela a lieu, H ré- 

 sulte de l'élimination de Ç entre les deux équations 



(i) •/3"+A,(Ç,^)-/3'"-' + ...-o et(Z) r-r-B,(a^)Ç'-' + ...= o. 



A,, . , B|; . . désignent des fonctions rationnelles, et x la variable indé- 

 pendante. Le groupe G' de (Z) est isomorphe à F sans hémiédrie. 



)) On a forcément Liîn; si L -= n, les deux équations (i) prennent la 

 orme 



•/3"+ Ao(Ç,^)v2" -' + ... = et Ç"-4-B,(.:r)Ç«-'+...::=o; 



elles ne sont pas autrement définies. 



» Lorsque L > 71, on peut toujours former une équation à coefficients 

 rationnels et irréductible (H), qui jouira des propriétés suivantes : 1° les 

 L racines Eo: ■ • -i ^l-i ^e S sont des intégrales de Y, et L — n de ces inté- 

 grales seront linéairement indépendantes; 2'^ le groupe G de (H) est iso- 

 morphe à F sans hémiédrie; 3*^ l'équation (E) devient abélienne, par la 

 résolution d'une équation auxiliau-e 0, dont l'ordre et le degré ne dépen- 

 dent que de n. L'équation (Z) définie plus haut jouit de cette même pro- 

 nriété. 



» L'application de la méthode générale aux cas 7i = i, 2, 3 donne lieu 

 aux remarques suivantes : 



C. R., i8b3, I" Scmescre. (T.XCVI, N° 1.) 8 



