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Trouver (les nombres rationnels y", ■/", . . . , '/"' tels que les équations 



=> 7"<-+- • ■ • ^ 7'"-."' - o (a = 1 , 2, . . . , X) 



iO(e;i/ approximativement vérifiées. 



» Pour résoudre ce problème, nous pojurons faire usage des nombres Cp 

 s<i nous parvenons à resserrer suffisamment les limites données par la der- 

 nière inégalité. Les quantités 0^ et rt y sont seules à notre disposition. 

 Comme rt est la limite supérieure des entiers |c|, si nous fixons le nombre r, 

 il faut laisser croître arbitrairement le nombre t. Alors l'ordre de grandeur 

 des entiers |c| nous sera donné par t; c'est à ce nombre que nous compa- 

 rerons les quantités <,, t^^ ..., t^ dont nous pouvons encore disposer, 

 ainsi que la valeur des quantités |(Cp, Zœ)|, c'est-à-dire le degré d'approxi- 

 mation avec lequel les équations sont vérifiées. En fixant un terme de 

 comparaison pour la grandeur des |Cp| et pour la valeur des |(Cp, Sœ)|, le 

 problème posé se présente sous une forme plus déterminée. 



» Si 2/t desX systèmes (r,,) sont imaginaires et si nous posons X — y.=z h, 

 il n'y a à résoudre que h équations 



c'<+ c"r': + ...+ c""zl'" = o (« = i, 2, ... h). 



Les 5,, 60, . . ., OzJ peuvent être choisis arbitrairement; mais les <,, t.,^ . . ., 

 //j sont alors déterminés; selon que le système [z^) est réel ou imaginaire, 

 t^ est égal à Oa. ou à $1. Comme nous ajoutons cependant aux h équations 

 celles qui correspondent aux x systèmes conjugués (^a+i)» (-^+2)» •• ■? {^\)i •' 

 convient de prendre les valeurs de f/j^,, t^^„, ••■, h égales à l'unité; mais 

 2 correspondant à deux systèmes (s) conjugués sont nécessairement 

 égaux, car nos inégalités se basent sur ce que la valeur absolue de (Cp, z») est 



plus petite que -^« 



» Ceci posé, nous aurons l'égalité 



tft.^ ... ti=0,Q., ... 6x. 



Pour être certain que parmi les c il existe des Cp, il est nécessaire de satis- 

 faire à la condition 



t,t,...t,<{rt)"-i ou 0,e,...6iti^,h^,-..t,<{rt)"-i. 



D'autre part, pour que tous les |(Cp, z^)\ deviennent simultanément aussi 

 petits que possible, il faudra prendre les 0^ aussi grands que possible et du 

 même ordre. Nous poserons doncôa= i^t", les r^ désignant des nombres 



