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 déterminés et a devant être choisi aussi grand que possible. La condition 



r,r._...i\h,,h,.,...t.,i"'^{rl)"-i 

 montre alors qu'il faut clioisir 



h.^^-^h^i = ■■'=(-,= '> et ^ = "• 



» Il résulte de ce qui précède que nous pouvons satisfaire aux X équa- 

 tions 



avec une approximation de l'ordre de t ' , en posant chaque 7'*' égal à une 

 fraction -V dont le numérateur et le dénominateur ont des valeurs uu 



même ordre que t. 



» Nous n'avons fait usage jusqu'ici que des limites supérieures des iné- 

 galités générales établies plus haut. Les limites inférieures nous montrent 

 imuiédiatement que les X équations ne peuvent être vérifiées par des frac- 



lions rationnelles -7- avec une approximation plus grande que t ' . 

 » Si 72 = X -t- I, et si l'on pose 



zr=(?a„ (rt, « = I,2, ...,X), 



5„5( étant luil pour a^a. et §„„ étant égal à l'unité, nous obtenons une ap- 



n 



proximation simultanée de l'ordre t "'' pour les valeurs de z'/"^", Sj"^", . . ., 

 z!,' ". C'est le cas considéré par M. Hermite dans son célèbre Mémoire sur 



la fonction exponentielle. 



» 8. Supposons maintenant que z,, z.,, . .., z,, soient les racines d'une 

 équation irréductible F(z) = o, à coefficients rationnels, et que z^, z^, . . ., 

 z),"' soient des fonctions entières de z^ à coefficients rationnels. Pour que la 

 condition imposée aux systèmes (z) dès le début de nos recherches soit vé- 

 rifiée, il est nécessaire de choisir les z^ de manière qu'une équation de la 

 forme [c, z^) = o, où les c sont des nombres entiers, ne puisse avoir lieu 

 que si tous les c sont nuls. Mais alors l'existence d'un minimum M, diffé- 

 rent de zéro, est manifeste. Car, si nous prenons |)our g un entier tel que 



les g-z'*' soient des nombres algébriques enlicrs, le produit g^J^K^', z^)! st'a 



a 



égal à un nombre entier différent de zéro, el, par suite, nous pourrons 



