( -Si ) 



prendre pour M la fonclion — • Nous |)ouvons donc appliquer les résultats 



(lu paragraphe précédent aux z ainsi définis, et parvenir ainsi à une réduc- 

 tion .'pptoximative de toute équation irréductible. Il suffit pour cela de 

 prendre pour les fonctions z'^, zl, .. ., 2'^" les puissances succes-.ives de z^ 

 et de poser 



<'■' = <"■■ (A- = i, 2,. ..,«)• 



Puisqu'on suppose que l'équation P(z) = o de degré v est irréductible et 

 qu'il n'existe pas de relations linéaires à coefficients entiers entre les» fonc- 

 tions z^''\ il est manifeste que/zlv. 

 » Si nous formons une équation 



(ï.(zi = z"-' -H ^ z"-' +...4-^=0, 



elle nous donne une réduction approximative de l'équation F(z) = 0; car 

 ^(z) = o, dont le degré fi — 1 est plus petit que v, est vérifiée p,our X ra- 

 cines de F (z) avec une approximation de l'ordre de ^ \ Nous savons, de 

 plus, qu'il est impossible de i)aiveuir à une approximation plus grande 



•I " 



que t '. Si, pour abréger, nous disons que t ' exprime l'ordre de la 

 réduction approximative donnée par cl)(s) = o, cet ordre dépend du 

 degré de l'équation réduite <I)(z) = o, tandis que la limite de l'ordre d'une 

 réduction approximative quelconque dépend du degré de l'équation don- 

 née F(z)=o. Mais il est naturel d'admettre que le degré de l'équation 

 réduite n'est inférieure que d'une unité à celui de l'équation donnée; ce 

 cas est d'ailleurs le plus important. Nous poserons donc 71 = v. Alors l'ordre 

 de réduction approximative donnée par $(z) = o coïncide avec l'ordre ex- 

 trême que la nature du problème permet d'atteindre, ce qui résout la ques- 

 tion que nous avons été amenés à nous poser. 



» En considérant le cas particulier où ti = 2 et X = i, nous sommes 

 amenés, avec M. Liouville [Jounialdc Matlicmaliques, t. XVI, p. i'33), à faire 

 une remarque intéressante que nous pouvons énoncer ainsi : La distance 

 qui sépare les nombres algébriques d'ordre v des nombres rationnels dont 

 le numérateur et le dénominateur sont de l'ordre de t est au moins de 



l'ordre de t~^. 



» Ce résultat découle immédiatement de l'introduction de limites infé- 

 rieures pour |(c, z^)\, et il me semble que cette introduction est le seul 



C. K., iSb'S, 1" Semestre. (1. XCVI, ^" ô.) 2° 



