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» A.dmeltons qu'il existe une telle fonction, et soient F,, Fj, ..., F„ 

 n branches linéairement indépendantes. Chaque branche de la fonction 

 satisfait évidemment à l'équation linéaire 



dx" 



I 

 1". 



F„ 



14,-t-- 



JC 



\x — if"'--^'-^" = o. 



» En étudiant la forme de chaque coefficient dans le voisinage des 

 points o, I, ce, on trouve sans difticuité que cette équation sera de la 

 forme 



(0 



dx" 



-^{Cx - l)i^"- 





dx"- • 



dr 



I.X — M)^ 4- N/ = o, 



A, B, C, D, ..., I., M, N étant 2« — i constantes. Pour déterminer ces 

 constantes, nous écrirons que les racines des équations fondamentales 

 déterminantes sont respectivement 



Pour ^ = o. 

 Pour a' =: — 



» Posons 



so 



o, i — b,, I — A,, ..., 1 - b_,„ 

 a,, «2) •••, ««• 



o{r) = {r- i-hb,){r- i -+-b,j...{r - 1 + /;„__,), 

 i'{r) = {r-+-a,){r + a,)...{r-hn„); 



on devra avoir 



{r-i){r-2) ..{r-n + i) 



+ B(r — \)...{r — n-+-2) +. . .-+- K(/- — i) + M = 'j>{r), 

 /•(/■ — i)...{r— n -\- i) -\-Ar{r— i)...(r — «+ 2) +. . .+ L/- + N = ({/(r). 



» Ces équations déterminent complètemenl, et sans ambiguïté, les coef- 

 ficients inconnus A, B, C, . . ., M, N. Ces coefficients étant déterminés de 

 cette façon, les racines de l'équation déterminante fondamentale relative 



