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 au point X — 1 seront 



o, I, 2, ..., n — 2, lb,~ la^. 



» Les intégrales de l'équation (i) jouiront bien des propriétés voulues. 

 Cela résulte des théorèmes fondamentaux de M. Fuchs, et d'une propo- 

 sition plus générale que j'ai rnoncée antérieureniciit (Co)»/j/es rendus, i3 no- 

 vembre 1882). 



» Dans le domaine du point j; = o, l'équation (1) doit admettre une in- 

 tégrale holomorphe.Si, dans le premier membre de cette équation, on rem- 

 place j- par une série telle que 



> \'i,iOC , 



I + 



m = 1 



le coefficient de a.'" dans ce résultat sera 



^m '^{m)— ('m+l ( /« + I ) <p [m -f- I ). 

 » On devra donc avoir 



C„,+i "M"') (a^^ m]( a,+ m] . . .[a„-Jt- m] 



C,„ (//;-+- l) y(w 4- l) l^,n + i)[bi-\- m). . .[b 



et, par suite, 



P (rt, ./?i)(a2./«). 



'-'m 



« -1 



. /«) (è, ./«). . .[b 



n—\ ' 



» Cette intégrale sera donc une série hypergéométriqne d'ordre supé- 

 rieur. L'intégrale générale de l'équation (i) s'exprime à l'aide dépareilles 

 séries; cela résulte de ce que, si l'on pose ;• = a-' *'s(/ = 1,2, ..., «}, 

 l'équation en z jouit des mêmes propriélés que la première et, par suite, 

 admet une intégrale de même forme. Il en serait de même de l'équation 



obtenue en faisant la transformation x = -, puis en posant 



Y=z"'t{i=i, 2, ...,«j. 



» Chacune de ces fonctions peut être représentée par une intégrale dé- 

 finie multiple. Ainsi, si l'on désigne par F (a,, n^, a^ ; ^,, b^, x) la série 

 écrite plus haut, on a 



/ /' u"-W-^-'[\ - «)'.-"-'(! - i'f'-"'-\y - xuv)-'^ du (h 



«/o i/o 



__ r[a,)T[a,)T{b,-a,]T[b,-a,) ^,^ 



■ TibAVibA r(rt,,r/„rt,;/.,,/;„j,), 



