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 Si, dans cette série, on regarde un instant x comme une constante et z 

 comme la variable indépendante, on voit qu'elle satisfait à une équation 

 différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en x 

 et en z. Pour trouver les limites de convergence de la série (3), il faut cher- 

 cher les points singuliers de cette équation; on les obtient en égalant à zéro 

 le premier coefficient de cette équation, qui est un polynôme entier en x 

 et en z. Voici comment on formera ce coefficient : soit X la plus haute puis- 

 sance de n dans le premier membre de (i); formons l'expression 



Q,+ Q, = +... + Q/.z*. 

 Cette expression, si on l'ordonne suivant les puissances de n, s'écrira 



H, K, ... étant des polynômes en x et en z. H sera le coefficient cherché. 



L'équation 



H = o 



nous donne alors les points singuliers. On en tirera k valeurs de z, que 

 j'appelle s,, Zg, ..., %, en fonctions de x. Le plus petit module de ces 

 k quantités sera aussi une fonction de x, que j'appelle (f{x). L'équation 

 générale des courbes limites sera alors 



<p(«) = const. 

 » Si, par exemple, on a 



H = s- + azic -I- I , 



les courbes limites seront des ellipses ayant — i et -h t pour foyers. 



» Si l'on a 



H= [z — X -\- a){z — X -\- b), 



les courbes limites seront formées de deux arcs de cercle ayant pour centres 

 l'un le point a, l'autre le point b. 



» Cette méthode est en défaut quand le polynôme H, ordonné suivant 

 les puissances de z, se réduit à un seul terme; mais la difficulté peut être 

 tournée. Posons, en effet, 



P = '-^, 



p étant un nombre donné, positif ou négatif, entier ou fractionnaire. On 



