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 Donc liiii —(l>{x) = o. Donc F(.r) a bien -— pour expression as)Mii- 



ptotique, comme l'ont trouvé les géomètres cités plus haut. 



» Dans une Communication ultérieure, si l'Académie veut le permettre, 

 j'indiquerai d'autres applications, dont une fori importante. Je prouverai, 

 en effet, que la fonction de ?.I. Tchebychef, somme des logarithmes des 

 nombres premiers inférieurs à x, est asymptotique à ce, ce qu'on n'avait 

 jîu établir jusqu'à présent. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries des polynômes. 

 Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 



« On sait quel parti l'Analyse a tiré des fonctions définies par des séries 

 dont le «'^™^ terme est un polynôme entier d'ordre ?i. On connaît en parti- 

 culier les travaux de MM. Tchebychef, Darboux, Frobenins, Halphen et 

 Appell. Je suis arrivé, au sujet de ces séries, à un résultat incom[)let, mais 

 qui peut présenter quelque intérêt à cause de sa généralité. 



» Considérons une série de polynômes ?„, P,, Pj, . . ., tels que P„ soit 

 un polynôme entier de degré n en œ, et soit lié aux k polynômes précédents 

 par une relation de récinrence 



(,) Q„p„±Q,p^^_^ + 0,;P,_, + Q,P„_, + . , + Q,P„_, = o. 



Dans cette relation, je suppose que Q, est un polynôme entier donné en as 

 et en 7i, de degré i en x. Je considère les séries de la forme 



(y.) aoPo+a,P,-4-...+ a„P„+..., 



où les «sont des coefficients constants, et j'en recherche les conditions de 

 convergence. Le plan des x sera divisé en deux régions par une certaine 

 courbe limite; dans l'une des régions en série, (2) sera convergente, dans 

 l'autre divergente. Quand on fera varier les coefficients a, il est aisé de voir 

 que la courbe limite variera, mais les diverses courbes limites formeront 

 une seule série de courbes s'enveloppant mutuellement, de telle façon que 

 par un point du plan passe une courbe limite, et une seule. C'est ainsi que, 

 si P„ se réduit à x", les courbes limites sont des cercles ayant pour centre 

 l'origine, et, si P„ se réduit au polynôme de Legendre X„, elles sont des 

 ellipses ayant pour foyers — i et + i . Cherchons à déterminer ces courbes 

 limites. Pour cela envisageons la série 



(3) P„+=P, + ... + ="P. + .... 



