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 résidu de - esl .,, , ou — ^' Nous avons donc 



(3) F(x)-^' = <î.(^), 



si toutefois nous pouvons prouver que les intégrales prises entre les extré- 

 mités correspondantes de A et B s'évanouissent. Or voici l'artifice très 

 simple qui s'applique ici. 



» Considérons la fonction 0{z), analogue à '(.z), savoir : 



\ ) 2-3- 4" ''" 



qui est définie par celte série pour les valeurs de s à partie réelle positive. 

 Elle est liée à Ç(z) par la relation 



(4) 6(z) = Ç(.)(r-2'-) 

 Si l'on pose 



le développement dej',{z) sous la forme (2) est encore valable quanil z a 

 sa partie réelle entre i et 2. Donc l'intégrale 



reste la même si on la prend le long deAou lelongdeB. Donc les intégrales de 

 "^ ■ ' ^"■' entre les extrémités de A et B s'évanouissent. D'après la relation (4), 

 cette conclusion s'étend à _ • L'égalité (3) est donc prouvée. 

 » Pour évaluer maintenant '^(j?), je l'écris ainsi 



^U-j = : / -— 



I — 2-" 



Puisque, le long de B, la partie réelle de z est moimlre que 2, on aura une 

 série convergente en développant le dernier facteur suivant les puissances 

 croissantes de 2*"-, etintégnnt les termes de la série. J'ai ainsi 



- (I.(X) == ~ r-\ (2X) H- ^ F, [2'x)^...+ ~ F, (2"X) .... 



Cette série étant coiivergeute, la somme des termes à partir du n'™"' est 

 infiniment petite pour n infini. Faisant 2" a; = x, j'ai donc 



lim.^r F,(}t) + -^ F,(2x)+... =0. 



