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 z à partie réelle au-dessous de /, alors on peut considérer une intégrale 

 3'(jr), qui diffère de F[x) seulement par le chemin d'intégration. Ce che- 

 min B aura pour extrémités b — ico , // + îoo ^ b ntb' étant moindres que 

 /, tondis que a et a' sont supérieurs à l. 



» Si, en outre, entre A et B, f{z) n'a pour points singuhers que des 

 pôles, et que les intégrales prises entre les extrémités correspondantes de 

 A et B soient évanouissantes, Y{iv)el<^[x) ne différent que par des résidus. 

 Soit z = w un de ces pôles, multiple d'ordre p., le résidu B^, a la forme 



B,, = :r"(P,logi'-'x-h Pjogi'-^^ -+-...+ P,,), 



où P,, . . ., P(^ sont indépendants de x. Ou a ainsi 



F(x)=<î.(x)-hyR„. 



Il arrive généralement alors que IR^ est une expression asymptotique de 

 ¥{x). Effectivement une intégrale, telle que (i), prise en ligne droite, de 

 a — icc à. a -h /oo , est, le plus souvent, infiniment plus petite que x", pour 

 X infini. Cette conclusion est assurée, notamment lorsque /{z) reste finie 

 et oscille seulement dans une portion finie de la ligne A. S'il en est ainsi 

 pour la ligne B, $(«;) est infiniment plus petit que x'", et les résidus don- 

 nent bien l'expression asymptotique de F[x). 



» Ces diverses circonstances se rencontrent dans de nombreux exemples. 

 Des artifices très simples les mettent en évidence. C'est ce que je vais faire 

 voir maintenant. 



>' Pour )^(«), prenons le nombre des nombres premiers avec ?i et qui lui 

 sont inférieurs. Pour la série (2), nous avons alors cette expression, indiquée 

 par ^î. Lipschitz (' ), 



oùÇ(z) désigne la fonction 



Jja limite / est ici égale à 2. D'autre part, la fonction Ç(z), prolongée par 

 Riemann, est uniforme, douée du seul pôle z = i, dont le résidu est l'unité; 

 en outre, pour les valeurs de z à partie réelle au-dessus de i, elle ne pos- 

 sède aucune racine. En prenant les chemins A et B de part et d'autre dn 

 point 2, le dernier entre i et 2, on a donc, pour y(z), le seul pôle 2. Le 



( ' ) Comptes rendus, t. LXXXIX, p. 986. 



