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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur t' approximation des sommes 

 fie fonctions numériques. Note de M. Halphen. 



« Les récentes Commuuica lions de M. Sylvesler (') me déterminent à 

 faire connaître ime méthode nouvelle pour l'évaluation des sommes de 

 fonctions nimiériques. Cette méthode, fondée sur l'emploi des intégrales 

 imaginaires, s'applique à des exemples variés, dont plusieurs ont été déjà 

 traités différemment parDirichlet (^),parM. Mertens(')et parM. Sylvester. 



» En étudiant le Mémoire de Riemann (*) sur la totalité des nombres pre- 

 miers, j'ai été conduit à envisager les intégrales de la forme suivante : 



où la variable d'intégration suit une ligne A n'entourant pas le point zéro, 

 et dont les extrémités sont a-\-icc, a' -i-ico,a et a' étant positifs. La 

 lettre J? désigne d'ailleurs une quantité réelle et positive ('). L'intervention 

 de ces intégrales dans la question actuelle tient à la propriété suivante. Soit 



, , ^, - X(i) >(a) ),(3) lin] 



\ / y \ ; , 2-3- n- 



Si la ligne A est prise dans la région où vaut le développement (2), on a 



F(x) = >.(i)+).(2)+...+ \(«). 

 n étant l'entier contenu dans ce. 



» Un développement, tel que (2), converge ou bien pour toute valeur 

 de z, ou bien pour les valeurs dont la partie réelle surpasse une certaine 

 limite /. Dans le premier cas et aussi dans le second, si l est négatif, F{x) 

 ne croît pas indéfiniment avec jc, mais converge versy(o). Si, au contraire, 

 / est positif, F(a;) croît indéfiniment avec x, et l'intégrale (i) peut servir à 

 trouver une expression asymptotique de r(a-), dans des cas que je vais dé- 

 finir. 



» Si In fonctiouy(z) est susceptible d'être prolongée pour les valeurs de 



(') Ce volume, p. 409 et 463. 



[■) Mémoires de l'Académie de Berlin [Abhandlungen] pour 1849. 

 ['■) Journal de Crelle, t, 77, p. 28g. 

 ( ' ) OEtn'ies complètes, Y>. i36. 



(^j Dans les Comptes rendus [Monatsbcncliw) de l'Académie de Berlin [)our 1878, 

 p. 53, M. Kronecker a déjà considéré ces intégrales pour un autre but. 



