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 coefficient de se dans le développement de 



- .T<> 



I — X.l — -r' 



et que le nombre de partitions de v dans ]' — parties inégales et pas plus 

 grandes que 6 est le coefficient de x' a'~^ dans le développement de 



(i + ax){i + rto.'^). . .(i + ax^^), 



on voit que, quand le nombre de lignes dans le groupe latéral est 0, le 

 nombre total d'arrangements de « dansj parties inégales qui correspondent 

 à cette espèce de distribution sera le coefficient de x"~''''a^~'^ dans le déve- 

 loppement de 



I + a.r . I + aar' . . . I + rt.r" — - 



■X • 



,,■>> 



De même, le nombre des partitions qui correspondent à la seconde bypo- 

 thèse sera le coefficient de x"~^''a'~^ dans le développement de 



rr 1 '■-» 

 1 ->.- fi X . 1 -\- a .r- . . . i -\- a.r'~^ 



— .r')-i 



X 



» En donnant à Q toutes les valeurs depuis i jusqu'à l'infini, on ob- 

 tiendra toutes les partitions de n dans y parties inégales. Les cas où excède 

 j n'offrent rien d'exceptionnel, car, pour ces cas, le coefficient de a!~^ 

 dans les deux fonctions génératrices sera nul. 



» Or le coefficient de x"'^' a!~^ dans cliacune de ces deux fonctions est 

 le même que le coefficient de x"a' dans les produits qui résultent de leiu- 

 multiplication par x^'cé'. 



» En comparant les coefficients de ■r"«'pour toute valeur de n et /, on 

 trouve donc 



[\ -{- xafi -\- x-a\i -^ x^a) + . .. 



i -i- ax „ I + a.r. I + a^'- . , 



= 1 -{ x-a H X' a--\- . . . 



I — X I — x.l — .r- 



I -I- ax. I + ax- . % . I 4- ax^' —7" n i -f «.r . ., 



-{ ; T. — X • rt' + . . . -f- xa H x^ir --. . . 



■» En mettant rt = — i, on obtient ainsi 

 ce qui est le théorème d'Euler. 



■X — r~ X , 



