( (^95 ) 

 Le cas de 72 = i fait seul exception, parce qui! rentre dans le ihéorème V; 

 la période se compose alors de cinq termes seulement. 



)> II. L'essence des nombres et la nature de l'opération dont il s'agit 

 n'admettent pas des lois aussi générales et remarquables, dans le cas où le 



dénominateur q dn nombre fractionnaire irrédnclible ~ a une valeur autre 



que 2. 



» En premier lieu, pour que les périodes conservent alors quelque ca- 

 ractère commun, a doit y recevoir, comme q, des valeurs particulières. En 

 second lieu, dans chacvm des groupes ainsi déterminés, l'influence de la 



valeur du rapport ^ ne s'y fait plus sentir par l'uniformité de la longueur 



et de la composition de la période. Toutefois les périodes de chaque groupe 

 ainsi défini n'ont pas non plus une indépendance mutuelle absolue. La va- 

 leur de -— y imprime le même caractère d'uniformité à un certain nombre 



(variable d'un groupe à l'autre, mais constant dans chaque groupe) des 

 premiers et par conséquent aussi des derniers termes des périodes. Ces 

 lois peuvent se formuler ainsi : 



» Théorème IX. — Si l'on a q'^ 2, lous les noinbies composant la famille 



E = n« -\~ dn (où — = - j onl des périodes donl la longueur et la composition 



varient généralement avec la valeur attribuée à n, bien que a et d demeurent 

 constants. Mais, sauf des exceptions peu nombreuses, faciles à déterminer a 

 priori et relatives à quelques valeurs consécutives de ?i à partir de 1 , le premier 

 terme de la période et plusieurs de ceux qui le suivent immédiatement sont com- 

 muns aux périodes de tous les nombres de la famille^ quel que soit fi. Ces mêmes 

 termes se reproduisent dans l'ordre inverse à la fni de la période. 



« Théokème X. — Les choses restant les menées quau théorème IX, si n 

 satisfait à la condition n = i + k.d'' [k et i [irenant toutes les valeurs en- 

 tières de I àl'ao), tous les nombres correspondants, sans exception, forment 

 dans lajamille un groupe dérivé, donl tous les individus ont en commun, à leurs 

 périodes respectives, une nouvelle suite de termes consécutifs de plus que ceux 

 mentionnés au théorème IX, et consécutifs à ceux-là. La valeur numérique du 

 premier de ces termes supplémentaii es est toujours et invariablement 2akd-^'~'^ — i . 

 Ces termes supplémentaires se reproduisent, dans l'ordre inverse, à la fin de la 

 période, et parmi eux apparaissent successivement, et par intervalles, les nom- 

 bres lakd-'^'--' — I, ... '2akd-^'~'^ — i ou lak — i . 



» Par exemple, dans la fanùlle E = 2/i +37/, tous les nombres, dès 



