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qu'on a 72 >• I, ont en commun les trois termes 1, 2, i au commencement de 

 l;i partie ascendante de leurs périodes, et les mêmes termes à la fin de la 

 partie descendante, et tous ceux d'entre eux qui satisfont à la congruence 

 «^1 (mod. 3") ont en outre en commun, et à la suite des premiers, les 

 dix termes (324^' — i), 'i 6, 5, (36A" — i), i, 6, i, 9, 4. 



» Dans la famille E = 9« ■+■ i3k, tous les nombres, dès que n > 3, ont 

 en commun, au commencement de leurs périodes ainsi qu'à la fin, les 

 quatre termes 1,2, i, i. Dès que 7z> 12, ils en ont un de plus qui est 2, 



et enfin si «sei (mod. t3 j, apparaissent les termes supplémentaires, 

 (i8A- — i), r, 2, I, I, etc. 



» III. On a des théorèmes généraux, du même genre que les précédents, 



dans la famille de nombres représentée par la formule E^ bn — en. Les 

 théorèmes II et VI en ont offert les cas les plus simples. Il y en a d'autres; 

 mais je dois me borner ici à les mentionner. 



» IV. En résumé, si l'on considère la multitude des nombres entiers, il 

 y en a une infinité, et même une infinité de groupes, où les périodes sont 

 soumises à des lois absolues. Quant aux autres, si leurs périodes sont 

 moins disciplinées, l'indépendance individuelle est néanmoins loin d'y 

 être complète; on y retrouve encore des éléments plus ou moins nombreux 

 de subordination parmi les périodes de ces nombres, classés par groupes. 

 C'est dans ce sens qu'on doit interpréter la réflexion de Lagrange, citée 

 au début de ma dernière Communication ('), et ce sont précisément les 

 limites qu'elle comporte que je me suis proposé de faire connaître. 



<; V. J'aurais à dire encore ce qui a servi de base à mes investigations 

 dans ce champ mystérieux et en apparence si confus, et notamment à quelle 

 cause est due l'influence prépondérante, sinon exclusive, de la valeur nu- 

 mérique du rapport — sur la longueur et la composition des périodes, puis 



à montrer comment la même méthode s'étend aux racines des équations du 

 second degré à coefficients rationnels; mais l'espace me contraint de diflérer 

 ces nouveaux détails, que l'on trouvera ailleurs. » 



Foir les Additions aux Eléments d'Algèbre d'Euler, édition de l'an III, p. 495. 



