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 lients des limites des expressions |(Cp, r^)|, q et-^ ou, si l'on veut 



^^ r"S,S,...S„ 



^«S,S,...S„ 

 Ainsi : 



» Dans chaque espèce de nombres algébriques, il y a un nombre infini 

 » d'unités ayant chacune, en valeur absolue, toutes ses conjuguées, à 

 » l'exception de deux, comprises entre des limites finies. » C'est la démon- 

 stration de ce théorème que j'avais en vue. Le résultat de Lejeuue-Dirichlet 

 (1846) s'en déduit à l'aide des considérations bien simples que j'ai déve- 

 loppées dans ma Thèse de i845. 



» 10. En nous appuyant sur les § 10 à 12 de cette Thèse, De unitalibus 

 complexisj nous démontrerons successivement : 



» 1° Qu'il n'y a qu'un nombre fini d'unités dont plus de {h — 2) valeurs 

 absolues conjuguée:» sont comprises entre des limites finies; 



» 2° Qu'il y a donc, parmi les unités complexes («p, z^) du théorème 

 précédent, (A — i) qui sont indépendantes (Lejeune-Dirichlet, 1846); 



» 3° Que, parmi les systèmes indépendants, il y a une infinité de sys- 

 tèmes ^ojif/a/nen/aH.r. 



)) Rappelons que l'on nomme indépendantes les unités complexes 



(A) \{a, ,:.,){, \{ao_, z^)\, ..., \{a^, z^)\ [oc = i, 1, . . ., n), 

 lorsque le produit 



(B) \{a,,z,)'"<{a,,z,)"'^...{a„z,)"h-\ [u = 1,2, . . ., n) 



est différent de l'unité pour tous les systèmes m, , m^, . . ., m„ différents de 

 zéro, et que la suite (A) représente, pour g = A — i, un système /on(/rt- 

 mental lorsque l'expression (B) nous donne toutes les unités de l'espèce 

 [zl, z'I^ ...,z'^"), \es m étant entiers. 



» I. En fixant des limites pour [h — i), valeurs absolues conjuguées 

 d'une unité complexe {a, z^), nous limitons les valeurs de ses coefficients, 

 et, par suite, le nombre de systèmes des entiers a', a", ..., rt'"'. 



» II. Le théorème du § 9 nous donne une suite infinie |(rtp, zJI- Consi- 

 dérons, parmi ces unités, celles que l'on peut exprimer par un produit de 

 puissances de g unités indépendantes, choisies arbitrairement. Pour dé- 

 terminer les exposants de ces puissances, il suffit de choisir g- conjuguées 

 de l'unité à représenter. Si g est plus petit que {h — i), nous pouvons 

 prendre les g unités conjuguées parmi celles dont les valeurs absolues sont 



