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comprises entre des limites finies; alors les exposants eux-mêmes et, par 

 suite, toutes les h valeurs conjuguées restent finies. Mais nous venons de 

 démontrer que ces unités ne sont pas en nombre infini. Ainsi, si g est plus 

 petit que (A — i), nous pouvons sûrement trouver, dans la suite infinie 

 («p, z^), une unité qui forme avec les g précédentes un système indépendant. 

 )) TII. Toute unité |(«, ?«)] de l'espèce considérée peut être exprimée 

 par l'expression (B) dans le cas où g- = /i — i ; on a donc 



I (rt, z,) I = 1 (a, , z,Y'>{a,, z,)"\ . .{a, z,)'""-' \ {a^i, 2, . . ., h), 



car, si nous déterminons m^jm.,, . . ., ttza+i à l'aide de (A — i) de ces A équa- 

 tions, la dernière est également vérifiée. 



» Les exposants m sont nécessairement rationnels; en effet, s'il en était 

 autrement, nous obtiendrions, en nombre infini, des unités 



\{a,,z,)r''rr,^^^\{a,, z,r"r'-^'^\ ..\{a,_,, z,)r-^-^^^ (p. = i,2, 3, ...)» 



toutes comprises entre des limites finies, pour des entiers tels que 

 o<p.mA— rA<i. 



» Les exposants seront entiers si l'on prend pour indépendantes : 1° l'une 

 des expressions (B), dans laquelle le nombre rationnel 772, est minimum ; 

 2° l'une des expressions (B) dans laquelle, m, étant nul, m^ est minimum, etc. 

 De cette manière, on parvient à un système fondamental ; il est facile d'en 

 déduire une infinité d'autres. 



» Supposons que {a,, z^), («o, Zr,)^ ..., («a-i> -a) forment un système 

 fondamental. Comme alors une unité quelconque {a, z^) satisfait à une 

 relation 



\{a, z^)\ = |(fl,, zj"'{a., z^)"h...{a^_,, z^)'"^-'\ (« = 1,2,..., n), 

 dans laquelle les m sont entiers, les ti unités conjuguées, 



{a, Z,y («,, ^a)"M«2, ^a)'"^-. •(«/,-., -.r- (« = I, 2, . . ., 70 



sont, en valeur absolue, égales à i. Or, j'ai démontré {Journal de Crelle, 

 t. 53, p. 173) que « les racines de l'unité sont les seuls nombres algébriques 

 » dont les valeurs absolues conjuguées soient toutes égales à i. » Nous ob- 

 tenons donc le théorème de Lejeune-Dirichlet. 



)) Toute unité d'une espèce donnée dont le nombre de conjuguées en 

 valeur absolue est h peut être représentée par (A — i) unités fondamen- 

 tales et une racine de l'unité, contenue dans l'espèce, en élevant chacun 

 de ces éléments à une puissance entière et en formant leur produit. 



