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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Addition à une Note sur les nombres jiremien; 



par M. E. de Jonquières. 



« Les réctntes et savantes Communications de M. Lipschilz(') m'ont 

 fourni une preuve nouvelle de l'iniérêt qui s'attache à la question traitée 

 dans ma Note du 4 décembre dernier. ] 'espère donc que l'Académie vou- 

 dra bien accueillir la démonstration que, pour être plus bref, j'avais 

 omise en me bornant à indiquer le principe d'où elle découle. 



» Soit N l'un quelconque des nombres composés, compris entre les deux 

 limites données, et soient a, b, c, . . ., l ses m facteurs premiers. 



» Il s'agit de prouver que la formule destinée à faire connaître condjjen 

 il v a de nombres premiers compris entre les deux limites exclut le 

 nombre N une fois et pas davantage. 



» Par l'application de la règle d'Eratosthène, N est effacé comme étant 

 multiple de chacun des facteurs a, b, c, ...,/. Il est donc effacé m fois, 

 c'est-à-dire m — i fois de trop. 



» Mais, par suite des opérations alternatives, de signe contraire, que 



prescrit l'emploi de la formule, ce même nombre est rétabli '-^ fois, 



comme étant multiple des produits deux à deux de ses facteurs. 



-.1 • f^ . mlm — t]l>n — 2 1 ^ . , i • 1 • 



» Il est ensuite eilace — ^^ -~ lois, comme étant multiple des 



produits trois à trois de ces facteurs. 



_ . , . . , ^ . , .. nilm — i){m — 2 ) ( "2 — 3 ) ^ . , 



» Bientôt après il est rétabli ^ — ^--^ fois, comme mu - 



' 1.2.3.4 



tiple de leurs produits quatre à quatre; et ainsi de suite, jusques et y com- 

 pris la dernière opération, où l'on n'a plus à le considérer que comme étant 

 le produit des 771 facteurs réunis, et qui l'efface ou le rétablit une fois, 

 selon que le rang de cette dernière opération est pair ou impair. 

 » En résumé, N est effacé 



m{m — i)('" — 2) ;«(/« — i)(w — ^K'» — 3)(/« — 4) c • 



m H —71 i , / h... tuis, 



1.2.0 1.2,3.4.3 ' 



et il est rétabli 



m [m — 1 ) m[?n — i ) ( '" — ^ ) ( '« — 3 ) 



1.2 I .2.3.4 



"... fois, 



'j Voiries Comptes rendus des 25 déctiiibre 1882 et 8 janvier i883. 



C. K., i8ti3, I" Semeitrc. (T. XCVl, h» 4.) 3o 



