( 235 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions deplitsieiirsvminbtes imiujlnniies. 

 Note de M. Ed, Combescure. 



« 1. On n'a pas, que je sache, développé complètement les conditions 

 immédiates que doit remplir une fonction analytique de plusieurs variables 

 imaginaires. Voici quelques remarques au sujet de ces fonctions. 



» Soient n variables imaginaires, indépendantes, 



où i = \l— i et où les x, y sont des quantités réelles aussi indépendantes. 

 Pour qu'une expression /(z,, r., . . ., z„) soit projirement une fonction ana- 

 lytique de s,, z,, ...,:;„, la condition générale est d'abord que, y et ij; dé- 

 signant des fonctions réelles des 2« variables œ, j, on ait identiquement 



il faut de plus que f admette des dérivées partielles du premier ordre par 

 raj)port 'a z,, z^, . . ., z„. D'après cela, on aura 



' dZf + -r^ (lz2 -h . . . -h j^ dz,, z=d(p -h id<S^ ; 



dzi àzi - " ' àz, 



d'où 



. dé 



et, en exprimant de toutes les manières possibles les conditions d'iulégra- 

 bilité par rapport ;i la fonction ij/, ou obtiendra le premier groupe de con- 



... , n( n -\- i) 



ditions, en noml)re » savoir 



(2) ^l,.kf? = o, 



où 



Aa,a = 



d^ d^ 



Il pouvant coïncider avec k. On obtient ensuite ce second et dernier groupe 



