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2° Un Volume de M. Etig. Tmlal, intitulé « Traité élémentaire du Mi- 

 croscope ; 1"^ Partie : le Microscope et son emploi «. 

 Ces deux Volumes sont présentés par M. E. Blanchard. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de jonclions de deux variables in- 

 dépendantes. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Dans plusieurs Communications précédentes, j'ai déjà donné des 

 exemples de fonctions de deux variables indépendantes u et t', qui restent 

 invariables quand on effectue sur il et v les substitutions en nombre infini 

 d'un groupe linéaire discontinu. Les exemples que j'ai indiqués sont sus- 

 ceptibles de généralisation fort étendues; envisageons ici d'une manière 

 générale un groupe discontinu pour tout point [u, v) [j'appelle, pour 

 abréger, point i^u, v) le système des valeurs de u et v\ situé à l'intérieur 

 du domaine D défini par l'inégalité 



u!^ -)- u"- + v'- + v"^ < I , 



en posant u = u + lu" e\. v =^ v' + iv", et je suppose d'aillems que toute 

 substitution du groupe transforme tout point de la limite deD en un point 

 de cette même limite. Je montre qu'il existe des fonctions F de m et t», seu- 

 lement définies dans le domaine D, et que laissent invariables toutes les 

 substitutions du groupe. 



» Je considérerai uniquement dans ce qui suit les groupes jouissant de 

 la propriété suivante : on peut trouver dans le domaine D un domaine R 

 n'ayant aucun point commun avec la limite de D, et tel qu'à l'intérieur 

 de R se trouve un point et un seul, transformé d'un point quelconque («, i^) 

 au moyen de substitutions du groupe. Je me [)ropose d'indiquer quelques 

 propriétés des fonctions correspondantes. 



» I. Nous montrons d'abord qu'il existe entre trois fonctions F une re- 

 lation algébrique. Considérons eusuite deux fonctions dont le déterminant 

 fonctionnel ne soit pas identiquement nul, 



et soient les trois expressions 



y du ~d7 



dv du ' 



et ^3 peuvent être considérés comme des fonctions de x et y. On 



