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 reconnaît qu'elles satisfont à trois équations linéaires aux dérivées par- 

 tielles 



r — ap-^-bq-ArCz, s = a,p h b^c] -h c,z, t == a^p -\- l),q -^,~ c.z, 



oùles^ï, Z», c sont des fonctions algébriques de j: et^'; par suite, z,, Zo, z^ 

 désignant Irois solutions communes convenables de ce système d'équa- 

 tions, les fondions jr et j peuvent être obtenues par l'inversion des équa- 

 tions 



- = II, -= i>. 



Zl z, 



» II. Revenons aux trois fonctions 



et so\t /{œ,j-, z) — o la relation algébrique à laquelle elles satisfont; sup- 

 posons, de plus, qu'à tout système de valeurs de jc, y, z ne corresponde 

 qn'un point (^/, v) dans le domaine R dont j'ai parlé plus haut. Prenons 

 une de ces intégrales doubles considérées d'abord par Jacobi, puis par 

 Clebsch et M. Nœther [Malli. Annalen), intégrales qui sont dans la théorie 

 des surfaces, les analogues des intégrales abéliennes de première espèce 

 pour le cas des courbes algébriques : 



où Q désigne un polynôme convenable d'ordre [m — 4) [/w étant le degré 

 de/]. La substitution des variables u et t» aux variables a; et ^ va nous 

 permettre de définir avec précision ce qu'on doit entendre par cette inté- 

 grale quand x et j, partant de x^ et j-„, z ayant la valeur :;„, arrivent en x^ 

 et ^,, z ayant la valeur z, ; nous montrons d'abord que l'expression 



(dx dy dx dr\ 



quand on remplace ir, j et :; par F,, Y., et F3, est une fonction G(m, v) uni- 

 forme et continue dans le domaine D. On a de plus, en désignant une 

 substitution quelconque du groupe par 



' ,M3((-t- P3C H- K3 Ms^ + Psi' + Rj 



R, M^^-f-PoO + R, 

 W7«-+-P3''-+-R'3' M3«-+- Pjf+Ra 



, , „ /M,M+Pir + R, Mj^-f-PoO + RoX ,, , w,, , -,, ^, ,, 



