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- Soient maintenant [Ug, v„) un système de valeurs de u, v correspon- 

 dant à a;„, 7oi 2o et de même «,, p, pour a;,,/,, z,; considérons l'intégrale 

 double 



1 G{u,v)chidv, 



ou 



u, et V, sont des transformées de u, et i>, par une substitution quel- 

 conque du groupe. Cette intégrale a un sens parfjitement déteruiiné, 

 puisque G(«, i>) est uniforme et continue, et elle représente les diverses 

 déterminations de l'intégrale (i). Dans le cas particulier où a;,, Xn ^i coïn- 

 cident avec Xo,j'o, Zoj on a à considérer les intégrales 



x;x 



G ( «, <0 ^" ^^^ OU Uo = ,T-r^__-iïT-j:Tr ' v o - [,i..^i>..+u ■ 



(M, P, R) étant, bien entendu, une substitution du groupe. Ces intégrales 

 sont,enquelquesorte, les analogues des périodes des intégrales simples; mais, 

 tandis que pour les courbes algébriques ces périodes sont des constantes, 

 il arrivera ici en général qu'elles dépendront des valeurs initiales a^o etjo- 



» Clebsch a défini le genre d'une relation algébrique entre trois variables 

 par le nombre des intégrales telles que (i). Au point de vue où nous nous 

 sommes placé, on pourra donner du genre la définition suivante. On re- 

 marquera d'abord qu'il existe seidement un nombre fini de fonctions 

 G{u, v) uniformes et continues dans le domaine D, satisfaisant aux équa- 

 tions (2), et linéairement indépendantes : ce nombre est précisément le 

 genre relatif au groupe (M, P, U). 



» III. En employant des séries analogues à celles qui nous ont servi 

 |)our former les fonctions F, on peut obtenir des fonctions uniformes ^ 

 de u et V pour lesquelles on a 



^ /M,M-t-P,c--R, Mort ; P.,c -I- R.A -, > 



les [j. étant des constantes. 



'I Indiquons une application de ces fonctions de seconde espèce; soient 



(3) x-^F,{u,i>), jr. F, («,<.), <!.(«, (0-C, 



F, et Fo étant deux fonctions F considérées plus haut et C une constante 

 arbitraire. Pour chaque valeur de C, ces équations définissent une fonction 

 y de .r, et il est aisé d'établir que, quel que soit C, ces fonctions satisfont à 



