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 mie équation différentielle 



où/ est un polynôme; cette équation se trouve donc intégrée au moyen 

 des relations (3). >• 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration algébrique d'une disse d'équations 

 linéaires. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Hermite. 



« L'étude des intégrales algébriques des équations différentielles linéaires 

 a doinié lieu à des travaux fort remarquables; mais, en détinitive, ce n'est 

 que dans un très petit nombre de cas que l'on a pu reconnaître qu'une 

 équation linéaire donnée s'intégrait algébriquement. Le problème comprend 

 en ré.dité deux questions distinctes : i° énumérer les divers groupes de 

 substitutions d'ordre fini, contenus dans le groupe linéaire à p variables; 

 2° former l'ensemble des substitutions que subit un système fondamental 

 d'intégrales d'une équation donnée correspondant aux divers contours 

 fermés que l'on peut faire décrire à la variable, ou le groupe de l'équation. 

 On doit à M. Jordan la solution de la première question [Journal de Bor- 

 chardt, t. 84), mais la seconde paraît beaucoup plus difficile et n'a pu être 

 abordée que dans des cas très particuliers. On ne verra pas sans intérêt, je 

 pense, que ce problème peut être résolu très simplement pour une classe 

 d'équations sur lesquelles j'ai déjà eu l'honneur de présenter une Note à 

 l'Académie (i5 janvier 1882), et dont l'intégrale générale s'exprime au 

 moyen des séries hypergéométriques d'ordre supérieur. 



» Je développerai le raisonnement sur l'équation du troisième ordre; la 

 méthode est absolument la même, quel que soit l'ordre de l'équation diffé- 

 rentielle. Etant données cinq quantités Z»,, èo, rt,, «o, «3, telles qu'aucune 

 des quantités bf,b.,,b,— b^ja, — a.^,af - a.^,a.,— a3,b,-h b, :- b^ — a, — a„ 

 ne soit un nombre entier, il résulte de la Note citée plus haut qu'il existe 

 une équation linéaire du troisième ordre à coefficients rationnels, admettant 

 seulement les trois points singuliers o, i, =0 et possédant, dans le domaine 

 de chacun de ces points, trois intégrales qui ont respectivement les formes 

 suivantes. On a, pour x = o, 



y, = P,(^), f, = x'-'P,{x), <p,=.x^-'^.?,{x); 



pour X — i, 



