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I 



pour a:= — = ao 



X 



7:, = ic"'.R,(x'), 7i,=^x'"^^.,[x'\ 



Pm Qn Ri désignant des fonctions liolomorphes dans le voisinoge du point 

 correspondant. Imaginons deux lignes indéfinies partant des points o et i 

 el jonant le rôle de coupures: les fonctions désignées par y et if deviennent 

 des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan. Entre quatre d'entre 

 elles, on sait qu'il existe une relation linéaire et homogène à coefficients 

 constants; les fonctions 9 étant déterminées à un facteur constant près, on 

 peut mettre ces relations sous la forme 



(i) 92 = t, -hl'é.+ m'^^, 



ceci ne cesserait d'être vrai que si l'équation proposée admettait une inté- 

 grale dont la dérivée logarithmique fût une fonction rationnelle. Mais je 

 suppose écarté ce cas particulier, qu'il est toujours aisé de reconnaître 

 directement. Des équations (1), on tirera 



(2) (|;, = C,©, + Cjç. + Cjyj, 



C,, Cj, C, vérifiant la relation C, +C2 4- C3 = i. Posons 



désignons par (©,)', (93)', (y^)' ce que deviennent les intégrales y,, (p,) Çs 

 après que la variable a décrit un petit lacet dans le sens direct autour du 

 point j: = o; soient de même (9,)", (92)", (93)" '^s valeurs que prennent 

 ces intégrales après un lacet décrit dans le sens direct autour du point 

 j: = I. On a 



(3) (o,)'='p,, (92)' = W202, (93)' = '"J^SÎ 



[ (?()"= [1+ C,(W, - l)]0,+ C2(«,-l)02-t-<>3(«|-l)î'.1» 



(4) j (?2)" = C, (w, -i)9, + [[4-C2(w, - i)]92 + C3(a), -1)9,, 



( (<Î33)"=C,(W, - OOi-f-Cslw, - 1)92+ [H-C3(m,-i)]ç)3. 



» L'intégrale générale de l'équation proposée sera algébrique si les 

 substitutions (3) et (4) appartiennent à un groupe fini de substitutions. Il 



