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ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur un théorème de M. Tcliébycbef. Note 

 de M. A. KoRKixE, (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



; M. Tchébychef m'a coniniuniqué un théorème concernant l'iDtégrale 



a[x) et <|/(.t) étant deux fonctions de x qui satisfont à l'une de ces deux 

 conditions : 



» 1° Elles sont simultanément croissantes ou simultanément décrois- 

 santes pour toutes les valeurs de ;r comprises entre zéro et l'unité ; 



» 1° Ou bien l'une d'elles est croissante et l'autre décroissante pour les 

 mêmes valeurs de x. 



» Dans le jjiemier cas, on aura 



/ (f{x)i^[x)dx::- f (p{x)dx <]>{x)flx, 

 et, dans le second, 



/ o [x) <\i Ix) dx <^ j Q{x)dxj 'h{x)dx. 



» Pour démontrer ce théorème, il suflit de considérer cette identité très 

 simple 



■■piTi + •'^sr? -i- . • . -1- --^n ••'„ 



.r, -^ x^-h . . + .v„ Tt + Js -I- 



n 



^-•^— -"-i;£K-^.)(7.-^--n)< 



où les — — ~ termes de la somme 



2 



correspondent à toutes les combinaisons des indices j et ^pris dans la suite 



1, 2, 3, . .; 7i. 



)) Si ion fait 



