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 pour i = I, 2, 3, . . ., n, et qu'on passe à la limite en supposant 72 infini- 

 ment grand, on aura, comme conséquence immédiate de l'identité, lo 

 théorème de M. Tchébychef. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Jpplication d'une méthode donnée par Legendre. 

 Note de M. R. Lipsciutz. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« Dans tuie Note publiée dans les Comptes rendus du 26 décembre de 

 l'année dernière, M. de Jonquières a rappelé l'attention sur une méthode 

 exposée par Legendre dans la Théorie des nombres (2^ édition, 4" ^^'"''65 

 § XI, p. 412), méthode qui sert à trouver combien, dans une progression 

 arithmétique quelconque, il y a de termes qui ne sont divisibles par 

 aucun des nombres premiers compris dans une suite donnée. Pour le cas 

 le plus simple, où la progression arithmétique devient la progression des 

 nombres naturels i, 2, 3, ...,ti, les nombres premiers donnés étant dési- 

 gnés par a, h, c, ...,/, si l'on dénote l'entier le plus grand contenu dans 

 une quantité réelle et positive N par [N], la question se trouve résolue par 

 la formule désignée par (/'), p. 420, qui est la suivante : 



^Ya\ ^Zilnbl 



La première somme s'étend à fous les nombres premiers a, h^ c, . . ., f, la 

 seconde somme à toutes les combinaisons de deux nombres premiers dilfé- 

 rents, et ainsi de suite. Or il faut distinguer deux cas. Supposons, pour le 

 premier cas, que a, l>, c, ■ . . , J soient tous les nombres premiers contenus 

 diins la série 1 , 2, 3, . . . , ?z; l'unité est le seul nombre qui n'est divisible 

 par aucun d'eux. Donc la valeur de la série en question se réduit à l'unité, 

 ce qui donne le théorème (I), que j'ai eu l'honneiu' de publier dans les 

 Comptes rendus (t. LXXIX, 1879, p. 948). Pour le second cas, où les 

 nombres premiers n, h, c, . . . , f ne font qu'une partie quelconque de tous 

 les nombres premiers non supérieurs à n, dénotons l'autre partie de l'en- 

 semble par p, (], r, . . . , J, et désignons par P, Q, . . . tous les nombres non 

 supérieurs à n, qui sont composés exclusivement des nombres premiers p, 

 q, r, . . . , s. Alors tous les termes de la série i , 2, . . . , n, qui ne sont divi- 

 sibles par aucun nombre (7, b, c, ...,/, se composent de l'unité et de tous 

 les nombres P, Q, .... Or la série donnée doit être égale au nombre L, P, 

 Q, , . . , (72) de tous les nombres P, Q, . . . , augmenté de l'unité. Cela étant, 



c. R., iiiS3, I" Semeslre.(J. XIVI, ^•15.) ^2 



