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 où 



mais il est facile de voir que ces conditions rentrent dans les précédentes. 



On a, en effet, 



à.^,,/.. ^ d' _^ d' 



et, par suite, 



^Ij ày^ ^ dx,, 



Donc, sous les conditions (2), Q^y est indépendant de x,,. On démontre- 

 rait de même qu'il est indépendant des j. Qkj'f ^st donc une constante. 

 D'ailleurs, en ayant égard à la première (i), on peut écrire 



_ d'-^ d'-'f _ d'--\, ^^ _ 



^"j"^ - d.r.dyj d.rjây, - dy.dyj ~ dyjdn " °' 



la constante en question est, par suite, identiquement nulle. Les - " ~^ ' ' 



équations (2) constituent donc les conditions nécessaires et suffisantes aux- 

 quelles doit satisfaire la fonction o. Il est clair que la fonction ij> doit véri- 

 fier des équations tout à fait pareilles; mais, lorsque tp est connu, on peut 

 en déduire t]^ par des quadratures, au moyen des relations (i). 



» La fonction y est susceptible de diverses représentations analytiques : 

 je citerai seulement la suivante, qui s'offre immédiatement : 



1 



,,cos(«, a;, -+-... -^«„a;„)+B„ ,„sin(a,x, + .. +«„a-„)] 



?,...p» 



les sommations s'étendant à toutes les valeurs qu'on voudra des indéter- 

 minées réelles clj, |Sy, A, B, X, olb. Ou obtient l'expression conjuguée (|/, en 

 changeant le symbole sin en cos, et le symbole cos en — sin. Il est presque 

 superflu défaire remarquer que les 2 peuvent être changés en intégrales 

 multiples relativement aux deux groupes respectifs des variables «,,.,.,«„; 



)j 2. Si l'on considère une expression de la forme 



(3) dy = z,(h, + z.,<i^+...-hZ„dz„, 



