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 où Z,, . . ., Z„ sont des fondions de s,, 3^, ..., c„, salisiaisaiit aux. coiulitioiis 



àz^ ùz,, ' 



en supposant, pour y = i, 2, . . ., n, 



(^j, i^j étant des fonctions réelles des x, /, il est facile de trouver, entre 

 quantités réelles, les conditions d'intégrabilité de l'expression 



(4) f/v = </y 4- «WJ/, 



les fonctions 9, i]>, yy, ^j vérifiant toujours les conditions ordinaires (i) 

 Comme 



= ^ ( ?y ^'•^■y - -l'y ^/y ) + ' J] ^ "^^ "^-^'v' + '^^ ^y^ ) ' 

 en écrivant que \ [ajjdxj— ijjdyj) est une différentielle exacte, on aura 

 le premier groupe de relations 



^ = ^. 



On reconnaît tout de suite que ces conditions, qui sont nécessaires, sont 

 en même temps suffisantes. Les autres conditions, en effet, 



àyk <^^h 



à cause de la relation ordinaire (i), 



sont ramenées au groupe (5). On voit de plus que, sous ces mêmes condi- 

 tions (5), la seconde partie de ciY, savoir 



i 

 est une différentielle exacte. Une partie des conditions d'intégrabilité est 



