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 représentée diieclemenl par (5). L'autre partie, savoir 



à cause de (i), c'est-à-dire de 





àf/.- _ àj^ 



rentre dans ce même groupe. 



» Le retour à la fonction V, par des quadratures, en partant de (3) ou 

 de (4), donne lieu à un grand nombre de singularités que je n'ai pas en- 

 core approfondies. Il en est de même pour ce qui concerne les intégrales 

 multiples des fonctions de variables imaginaires. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions de deux variables. 

 Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 



« On sait que M. Weierstrass a démontré le théorème suivant : 



» Si F{x) est une fonction méromorplie dans toute l'étendue du plan, on peut 

 la mettre sous la forme du quotient de deux fonctions entières. 



n Le théorème analogue pour les fonctions de deux variables n'est pas 

 encore démontré. Je crois en avoir trouvé une démonstration rigoureuse, 

 dont j'exposerai ici la marche générale si l'Académie veut bien le per- 

 mettre. 



» Je considère une fonction r(X, Y) de deux variables imaginaires 



X = X -h ij, Y = z-h it, 



et je suppose que, dans le voisinage d'un point quelconque, cette fonction 



N 

 puisse se mettre sous la forme -» N et D étant deux fonctions holomorphes. 



» La partie réelle ii d'une fonction quelconque de X et de Y satisfait aux 

 équations 



(l^ Il d- u d* u d^ u 



A« = 1- ■ — - -i 1- • — ■ 



dx- dy>- dz^ ^ dt* 



'f 



d^ a d^u d^u d^u 



d^ + ^=o, A,«= ^ + ^ 



d^tt (Pu . d^u d'-u 



dydz dxdc ' ' dxdt dydt 



» J'appellerai fonction potentielle toute fonction qui satisfait à l'équa- 

 tion L.U = o, et je dirai que cette fonction est entière si elle est holomorplie 

 pour toutes les valeurs finies de x, y, z, t. 



