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 » L'ensemble des points x, j, z, t qui satisfont à l'inégalité 



formera une région que j'appellerai liypersphcrique, à cause de la ressem- 

 blance entre l'inégalité précédente et celle qui exprime qu'un point est 

 intérieur à une sphère. 



» 1° Cela posé, je construis une infinité de régions hypersphériques R", 



R°, Je suppose qu'un point quelconque [x^y^z^ t) appartient au moins 



à une et au plus à cinq de ces régions. Je suppose que ces régions sont 

 choisies de telle sorte qu'à l'intérieur deR°, par exemple, la fonction F 



peut se mettre sous la forme r-^- 



» J'envisage également les régions R', formées parla partie commune à 

 deux des régions R° et les régions R-, R-, R-, formées par la partie com- 

 mune à trois, à quatre ou à cinq de ces régions. 



» 2° Je construirai une fonction potentielle Jf jouissant des propriétés 

 suivantes : elle est holomorphe à l'extérieur de Rf et tend vers o quand 

 X- + j2 _,_ 2= _|_ ^2 j.,,oj[ indéfiniment. La différence Jf — log mod D est 

 holomorphe à l'intérieur de Rf ; enfin, sur la limite de la région Rf, Jf est 

 holomorphe quand D ne s'annule pas. 



» Par exemple, si la région R" est formée de l'ensemble des points qui 

 satisfont à l'inégalité 



voici comment on peut former la fonction J correspondante : on posera 

 ^ = rcos0, j = rsinScos'l, z =r rsin^sinJ^ cosip, ^^rsinSsincj/sin^. 

 » Considérons trois angles ô', ijj' et 9', et posons 

 a.r — xcosS'-t-jsinô'cos(J/'+ Jz;sin6'sin^j;'cos9'+ «sinÔ'sin4*'sin/, 



» Quand on fait r = 1 , modD et '-^^. — - se réduisent à des fonctions v 



et >. de 0, 9 et (}; ; soient v' et )/ ce que deviennent v et X quand on y rem- 

 place 5, 9 et 4- par 0', cp' et ij^'. La fonction J sera égale, 



I f av'(l — aO+V( i —-jur+r^) ^ , 



pourr>i,a ~^J (i- 2ar-)-r^)-^ "'^ ' 



pourr<i, a logmodD-— rj- t,_,a, + .^)^ ^^- • 



G. K., i883, I" Semestre. (T. XCVl, ^° ■S.) -* * 



